Оценки точности асимптотических разложений в предельных теоремах для решетчатых распределений

• Автор: Карымов, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с. : ил.

О содержании работы
Глава 1. Разложение решетчатых распределений в свертки пуассоновских
зарядов
Используемые обозначения главы
Введение к главе
Основные результаты
Аппроксимация биномиального распределения
Теорема о разложении биномиального распределения
Сравнение результатов работы с результатами других авторов
Сравнение с результатами других авторов. Численные результаты
Понижение сложности вычислений
Доказательства результатов главы
Доказательство замечания
Доказательство теоремы
Доказательство замечания
Доказательство замечания
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Доказательство замечания
Доказательство теоремы
Глава 2. Неравномерные оценки в теореме Пуассона
Введение к главе
Полученные результаты
Доказательства результатов главы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Литература

О содержании работы
Целью этой работы является изучение сходимости решетчатых распределений к предельным распределениям. Первоначально задача формулировалась для биномиального распределения и предполагала построение аппроксимации биномиального распределения за пределами областей применения классических нормальной и пуассоновской аппроксимаций. Полученный результат был обобщен и составил основу работы. Впоследствии было замечено, что получены неравномерные оценки в теореме Пуассона, что само по себе является редким результатом. Техника получения оценок была успешно применена в условиях классической теоремы Пуассона, и полученные результаты легли в основу отдельной главы.
Данная работа состоит из двух глав. Первая Глава IIосвящена изучению сверток зарядов специального вида, называемых далее пуассоновскими. Первые результаты, использующие такие свертки, появились в 1986 году в работах литовского математика Ю. Круописа. В настоящее время имеется ряд работ, в которых показано, что использование свертки всего двух зарядов дает в классической задаче об аппроксимации биномиального распределения лучшую точность аппроксимации биномиального распределениях, чем классические пуассоновская и нормальная аппроксимации. Это не могло не привлечь внимания к таким сверткам, но пока они не получили широкого распространения, поскольку большинство используемых в литературе методов оказываются довольно сложными. Кроме этой диссертации имеется лишь одна работа [23], в которой для распределения неотрицательной целочисленной случайной величины, имеющей большой скачок в нуле, доказано существование представления в виде бесконечной свертки пуассоновских зарядов. К сожалению, эта работа осталась практически неизвестной для большинства исследователей. К. А. Боровков нашел простой способ получения аппроксимаций в виде сверток пуассоновских зарядов, однако его метод существенно использует специфику биномиального распределения, что ставит под сомнение возможность его использования в более общем случае.
В первой главе диссертации представлен простой метод, позволяющий найти разложение в свертку пуассоновских зарядов для распределения любой целочисленной случайной величины, имеющей второй момент и не обращающуюся в нуль характеристическую функцию. Даются также оценки расстояния в наиболее распространенных вероятностных метриках между распределением такой случайной величины и сверткой конечного числа членов упомянутого разложения. Предложенный подход использует лишь основы теории вероятностей и математического анализа и аналогичен методам, при помощи которых в 1883 и 1914 годах были открыты ряды Грама-Шарлье типа А и В, фигурирующие в “Математической энциклопедии”. Автор считает, что это дает основание считать свертки пуассоновских зарядов не просто новым направлением исследований, а
разделом, примыкающим к классическим результатам теории вероятностей и долгое время остававшимся незамеченным.
Во второй главе работы приведено несколько результатов, связанных с оценкой скорости сходимости в предельной теореме Пуассона. Полученные оценки являются неравномерными, что отличает их от большинства известных результатов в этой области. Эта задача описана в книге А. А. Боровкова [12].
Автор обращает внимание на то, что некоторые из используемых обозначений имеют разный смысл в первой и второй главах работы. Это связано с отличиями в традиционных обозначениях при решении двух разных задач. Для удобства чтения в каждой из двух глав вначале приводятся лишь формулировки результатов и их обсуждения. Доказательства утверждений вынесены в отдельные параграфы. Нумерация теорем своя в каждой главе.
Рассмотрим распределение F*E_L(x). Его характеристическая функция e~“Lf(t) не обращается в нуль и не имеет витков на -л,л~. Ее логарифм определен и является непрерывной 2я" -периодичной функцией. Пусть g(t) = nf(t)-itL, где In f{t) - главное значение логарифма. Так как ряд из коэффициентов Фурье функции g(t) абсолютно сходится и она
непрерывная, то тригонометрический ряд сходится к ее значению в любой

точке. Абсолютная сходимость ряда ХЛ позволяет нам рассматривать
к=~оо
любые множества А без учета ограничений, указанных в теореме 1, так как все полученные ряды будут абсолютно сходящимися. Кроме того, это гарантирует нам существование свертки

Оценим величину
jmaxjl e-'Lf(t) \ | ехр{£Л(^ -1)} |2U.
І кєА J
Очевидно, что e~,tLf{t)<. Оценка сверху величины |ехр{^ГЛк(е“к -1)}|
к&А
труда не вызывает:
| ехр&Лк(ем -1)} 1= ехр{ X К - 1)} =
кєА ЛєЛ{0}
= ехр{ X Лк Re(e"*-1)+ X Лк Re( кеА{ 0} *еЛ{0} *єЛ{0}
Af, >0 А% <0 At <0
Эта оценка удобна, когда множество А содержит небольшое число членов, но она может сильно портиться при увеличении мощности А. Поэтому, мы укажем другую оценку, которая будет убывать с ростом множества А. Вспомним, что
e-llLf(t) = exp{±Ak(ellk-l)}.

Тогда
|ехр(£лк(е“к -1)}|=|ехр{|; Л(е"‘-1)-ХЛ(е"‘ -1)}|=
кєА к=-со кеА
=е^Д1)ехр{-^Лк(ем -1)}|<|ехр{~ХЛк(е“к -1)}|=
ЫА kf.A
= ехр{ X Лк Re(l - е'к )} = ехр{ X AkRe(l-e‘tk)+ X Re(] - е“к)} <
к*Аи{ 0} fosAj{0} кеАи{ 0}
4<0 Л*>0
<ехр{ X К Re(l- е"к) - ехр{2 X Ак).

Получаем
ЫА^{ 0} kiA А1[> 0 4>0