Многомерный непараметрический анализ линейных моделей

• Автор: Топчий, Анна Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Содержание
Введение
1 Многомерное непараметрическое оценивание в линейных моделях
1.1 Медиана Оя
1.1.1 Основные определения
1.1.2 Асимптотические свойства выборочной медианы Оя
1.1.3 Доказательство теоремы 1.1 о состоятельности выборочной медианы Оя
1.1.4 Доказательство теоремы 1.2 об асимптотической нормальности выборочной медианы Оя
1.2 Оценки сдвига двух многомерных распределений и их свойства
1.2.1 Определения
1.2.2 Асимптотические распределения оценок втп и 9тп
1.2.3 Доказательство состоятельности оценок сдвига
1.2.4 Доказательство асимптотической нормальности оценок сдвига
1.2.5 Пример
1.2.6 Методы вычисления оценок 9тп и втп
1.2.7 Оценка ковариационной матрицы
1.3 Многомерные оценки контрастов в многовыборочных задачах
1.3.1 Основные результаты
1.3.2 Доказательства теорем
1.3.3 Оценки параметров двухфакторных таблиц дисперсионного анализа
2 Аффинно-инвариантная тестовая статистика в многомерной двухвыборочной задаче о параметре сдвига
2.1 Основные определения и распределения статистик при нулевой гипотезе
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Ранговый критерий Уилкоксона (одномерный случай) .

2.1.3 Многомерное обобщение ранговой статистики Уилкок-сона и ее распределение при нулевой гипотезе
2.1.4 Аффинно-инвариантный непараметрический критерий и распределение его статистики при нулевой гипотезе
2.1.5 Доказательства теорем разделов 2.1.3 и 2.1.
2.2 Предельные распределения статистик критериев при альтернативах
2.2.1 Основные результаты
2.2.2 Эффективность по Питману
2.2.3 Формулы асимптотической эффективности критерия
Фда Для эллиптических распределений
2.2.4 Доказательства теорем
2.2.5 Пример
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Непараметрические методы статистики - методы математической статистики, не предполагающие знания функционального вида генеральных распределений.
Типичная задача непараметрической статистики - двухвыборочная задача сдвига: пусть х,...,хт и у,...,уп — две независимые выборки, извлеченные из совокупностей с непрерывными генеральными функциями распределения РиС: проверяется гипотеза Нп о равенстве распределений Г и (3 против альтернативы сдвига Н : С?(£) = Р(£ — А) для всех t и некоторого Д^О.
В одномерном случае типичным непараметрическим критерием для проверки гипотезы Но против альтернативы Н является критерий Уил-коксона, основанный на сумме рангов элементов первой выборки в общем вариационном ряду. Гипотезу о равенстве распределений отвергают, если вычисленная по наблюдениям статистика критерия оказывается слишком большой или слишком малой. Статистика Уилкоксона проста для вычислений, а ее распределение при Щ не зависит от Г.
В ряде случаев важно не столько проверить гипотезу об отсутствии сдвига, сколько оценить этот сдвиг А. Оценка параметра А посредством величины у — х, которая оптимальна в нормальном случае, является очень неустойчивой к отклонениям от нормальности и может даже не быть состоятельной. Гораздо лучшими свойствами в этом отношении в одномерном случае обладает непараметрическая оценка Ходжеса-Лемана: медиана набора тп ЧИСеЛ Уj — XI, г = 1, з — 1, ...,п.
При обобщении этих методов на многомерный случай появляются дополнительные трудности: неоднозначность понятия медианы, ранга, зависимость статистик от исходного распределения. Поэтому появляются новые непараметрические методы для многомерных моделей. Например, только для многомерной двухвыборочной задачи сдвига были предложены покомпонентные (марджинальные) знаковые и ранговые методы (см. [13], [41]), пространственные методы ([28], [31]), аффинно-инвариантные мето-

мы получаем, что во = Д. Без ограничения общности можем считать, что в0 = А = 0.
Далее, заметим, что
итп{в) = —ту ^ Г(0, - Хгк) =

- ipn) 1 (Сщ) 1 ^2 he(il, ..., — ,3k)i
h<- V{Q> Vjm xii j ■'■>Hjpk ~ xik)

и ^2p означает сумму no fc! всевозможным перестановкам (!,...,«). Значит, Umniß) является двухвыборочной LZ-статистикой (см. [8], [24]). В силу условия (Ь), (1-32) и законов больших чисел для двухвыборочных U-статистик (см. [8], теоремы 3.2.1, 3.2.2),
итп{в) °4' Еитп(в) = D{6) (1.34)
в каждой точке в G Шк.
Поскольку, согласно разложению (1.28), Umn{0) и D{6) — выпуклые функции, то из поточечной сходимости п.н. следует равномерная п.н. на любом компакте {в € Мк : ||0|| < С} (см., например, [44], теорема 10.8), т.е. при М —У оо (М = min{m, п})
sup Umn(9) - D(e) “4-0.
1И1<С
Значит, при любом значении С >
arg min Umn(e) °4 arg min D(9) = arg min D(9) = 0. (1.35)
Следующим шагом покажем, что для некоторой константы С < оо с вероятностью 1 при достаточно больших М
\втп\ = || arg min Umniß)II < C. (1.36)
9£lRk
Тогда с вероятностью 1 для достаточно больших М
arg min итп(в) = arg min Umn{9) веМк {в: ||0||<С}