Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса и их применения к ветвящимся случайным блужданиям

• Автор: Булинская, Екатерина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Новые предельные теоремы для процессов

Веллмана-Харриса

1.1. Основные результаты первой главы

1.2. Вспомогательные интегральные уравнения

1.3. Асимптотическое поведение числа частиц первого типа

1.4. Совместное распределение численностей частиц разных типов

Глава 2. Исследование времен достижения с запретом

в модели случайного блуждания

2.1. Основные результаты второй главы

2.2. Вспомогательные утверждения
2.3. Анализ времен достижения с запретом в общем случае
2.4. Простое случайное блуждание по одномерной решетке
2.5. Времена достижения с запретом после выхода из начального
состояния
Глава 3. Критическое ветвящееся случайное блуждание
3.1. Основные результаты третьей главы
3.2. Изучение средних локальных численностей частиц
3.3. Вспомогательный процесс Беллмана-Харриса
3.4. Предельные теоремы для локальных численностей частиц
3.5. Применение результатов первой главы
к ветвящемуся случайному блужданию
Литература

Введение
Актуальность работы. Представленная диссертация является самостоятельно выполненной, законченной научно-исследовательской работой, посвященной решению актуальных задач в области предельных теорем теории вероятностей.
Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы доказать новые предельные теоремы для численностей частиц разных типов в многотипном ветвящемся процессе Веллмана-Харриса, исследовать асимптотическое поведение функций распределения времен достижения с запретом для случайного блуждания по целочисленной решетке, а также изучить свойства локальных численностей частиц в модели критического ветвящегося случайного блуждания.
Научная новизна. Научные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором, являются новыми и обоснованы в виде строгих математических доказательств. Результаты других авторов, упомянутые в тексте диссертации, отмечены соответствующими ссылками.
Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы специалистами Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Математического института им. В.А. Стек-лова РАН, Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН и других научных и учебных организаций. Установленные результаты могут включаться в специальные курсы, посвященные современной теории случайных процессов.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
1. Доказана условная предельная (по времени) теорема для числа частиц одного типа в критическом ветвящемся процессе Беллмана-Харриса с двумя типами частиц при условии невырождения популяции частиц этого типа.

2. Установлено условное совместное предельное распределение должным образом нормированных численностей частиц первого и второго типов для процессов, упомянутых в предыдущем пункте.
3. Найдена вероятность того, что времена достижений с запретами конечны, и выявлено асимптотическое поведение хвостов функций распределения этих времен для симметричного, однородного по времени и пространству, неразложимого случайного блуждания с конечной дисперсией скачков.
4. Исследовано асимптотическое по времени поведение вероятности наличия частиц в любой фиксированной точке решетки Zd в модели критического каталитического ветвящегося случайного блуждания при старте процесса в произвольной точке на Zd.
5. Получены условные предельные теоремы для надлежащим образом нормированного числа частиц в каждой фиксированной точке решетки Zd в модели, упомянутой в пункте 4.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: ’’Stochastic Analysis and Random Dynamics“ (Львов, Украина, 2009), 10th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics (Вильнюс, Литва, 2010), ’’Modern Stochastics: Theory and Applications 11“ (Киев, Украина, 2010), ’’Visions in Stochastics“ (Москва, 2010), 5th conference ’’Limit Theorems in Probability Theory and their Applications“ (Новосибирск, 2011), ’’Branching processes and random walks in random environment“ (Франкфурт-на-Майне, Германия, 2011), ’’Modern Stochastics: Theory and Applications III“ (Киев, Украина, 2012). Кроме того, были сделаны доклады на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (руководитель академик РАН А.Н. Ширяев; Москва, 2011), семинаре отдела дискретной математики Математического института имени В.А. Стеклова РАН (руководитель д.ф.-м.н., г.н.с. А.М. Зубков; Москва, 2012), семинаре Добру-

Глава
Исследование времен достижения с запретом в модели случайного блуждания
Глава посвящена исследованию новых объектов в рамках модели случайного блуждания с непрерывным временем по целочисленной решетке й £ К, а именно, временам достижения с запретом. Точнее говоря, для любых точек х, у, г € таких, что у ф г, определим функцию Нх,у>г(£), Ь > О, как (несобственную) функцию распределения момента первого достижения (или первого возвращения, когда х — у) точки у, если точкой старта случайного блуждания является состояние х, а точка г - запрещенное состояние. В данной работе мы находим предельное значение Нх(ро) = Ктоо НХЛ(Ь) и анализируем асимптотическое поведение НХ)У>г(оо) — Н.ъ,у,г{1) при 2 —» оо для неразложимого, симметричного, однородного по пространству и времени случайного блуждания по с конечной дисперсией скачков.
Наиболее интересным оказывается случай <2 = 1, поскольку тогда существует два совершенно различных вида асимптотического поведения функции #Х)3(1г(£) при Ь —> оо в зависимости от того, является ли случайное блуждание простым или нет. Стоит также упомянуть, что для случайного блуждания по Ъа, за исключением простого случайного блуждания по 2, значение Дг,1/,г(оо) лежит строго в интервале (0,1), а порядок убывания функции Нх,у,г(оо) — НХ)У{1) определяется только размерностью <2, независимо от значений и г. При этом для простого случайного блуждания по Ъ именно взаимное расположение точек х,у иг задает как значение НХ:У>2( оо) € [0,1], так и порядок убывания функции Нх<у{оо) - Нх,у,г), когда 2 —» оо.
Напомним, что свойства времен достижения (или, более общо, времен прохождения, включающих времена первого попадания в некоторое множе-