Многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики

• Автор: Куликов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 139 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Аксиомы когерентных и выпуклых мер риска

2. Представление когерентных и выпуклых мер риска

3. Экстремальные элементы

4. Распределение капитала и риск-вклад

5. Ценообразование и хеджирование с использованием ПСБ

6. Обобщение У@11, хвостового У@1Ц взвешенного У@Я на многомерный случай, согласованность с пространством и инвариантность по распределению

7. Структура работы

8. Апробация диссертации

Глава 1. Определение многомерных когерентных

и выпуклых мер риска
§ 1.1. Основные определения
§ 1.2. Теоремы о представлении
§ 1.3. Экстремальные элементы
§ 1.4. Примеры многомерных когерентных мер риска
§ 1.5. Задача распределения капитала
§ 1.6. Риск-вклад
§ 1.7. Технические результаты
Глава 2. Ценообразование с использованием многомерных
когерентных мер риска
§ 2.1. Ценообразование
2.1.1. Основные определения
2.1.2. Ценообразование, основанное на многомерных
когерентных функциях полезности
2.1.3. Основанное на RAROC ценообразование
§ 2.2. Динамическая модель обменных курсов
§ 2.3. Хеджирование с использованием NGD
2.3.1. Верхняя и нижняя цены вдоль направления
2.3.2. Хеджирование в одношаговой модели
с использованием обмена валют
2.3.3. Различные способы для нахождения верхних и нижних цен, а также суб- и суперхеджирующих стратегий
и их использование
Глава 3. Многомерные определения хвостового V@R
и взвешенного V@R
§ 3.1. Определения
3.1.1. Многомерные когерентные меры риска
3.1.2. Различные определения V@R и хвостового V@R
в многомерном случае
§ 3.2. Примеры
3.2.1. Связь между различными обобщениями хвостового V@R
3.2.2. Случай случайного конуса
§ 3.3. Согласованность с пространством
§ 3.4. Различные обобщения взвешенного V@R
§ 3.5. Инвариантность по распределению
§ 3.6. Двумерный случай
Список литературы
Указатель обозначений
Указатель терминов

Введение
1. Аксиомы когерентных и выпуклых мер риска. В работе [10] Ф. Артцнера, Ф. Делбаена, Ж.-М. Эбера и М. Хиса было введено понятие когерентной функции полезности.
Определение 1. Когерентная функция полезности определяется как функция и : Ь°° —> R, обладающая следующими свойствами:
(a) (диверсификация) и(Х + У) > и(Х) + u[Y);
(b) (отношение частичного порядка) если X (c) (неотрицательная однородность) и(Х) = Аи{Х) для любого А > 0;
(d) (инвариантность относительно сдвига) и(Х + т) = и(Х) + т для любого тЄІ;
(e) (свойство Фату) если |Х„| < с и Хп Д X, то и(Х) > limn и(Хп).
Соответствующая когерентная мера риска определяется как
р(Х) = -и(Х).
Класс когерентных мер риска был введен, чтобы устранить недостатки V@R (Value at Risk, ’’стоимость под риском”) — меры, наиболее активно используемой на практике, но имеющей ряд недостатков (например, см. [10]).
С этого момента теория когерентных мер риска стала активно развиваться. Достаточно упомянуть работы [5], [6], [8], [9], [11], [17], [22], [29], [34], [35], [37], [58], а также обзоры [30], [36; Ch. 4], [63]. Во всех этих работах рассматриваются одномерные меры риска, т. е. измеряется риск одномерных случайных величин, имеющих смысл стоимости портфелей, выраженной в единицах некоторой базовой валюты. Такой подход оправдан в том случае, когда имеется базовая валюта, или в том случае,
1.3 Экстремальные элементы
§1.3 Экстремальные элементы
Пусть и — многомерная когерентная функция полезности на (Ь°)а, V — ее определяющее множество. Положим
С = іг Є (Ь1У : Е£г' = 11.
г=1
Тогда введем следующие пространства.
Определение 1.8. Сильные и слабые Ь1 -пространства, ассоциированные с и, определяются по следующим формулам:
ІІ,(Р)={хє(£У: зир У2Е2'Х* <оо);
1 гпс ~і )
/ (1(1 "ч
іД(Р) = І X є (ТУ : Ит вир У" Е&Хг! V 11 > ")= 0 >
I поо2еТ}пС J J
Замечание. Для одномерных когерентных мер риска понятия слабого и сильного Т1 -пространств, ассоциированных с одномерной когерентной функцией полезности и с определяющим множеством V, введены в [5; п. 2.3] следующим образом:
I}W(V) = {X є L° : sup EZX < oo};

L{V) = {lei°: lim sup EZXI{X > n} = 0}.
n-ioc Z£d
Таким образом, введенные нами сильные и слабые L1 -пространства являются многомерным обобщением сильных и слабых L1 -пространств, рассмотренных в [5; п. 2.3].
Очевидно, что L{V) С Llw{V). Если V П £ состоит из одного случайного вектора Z, то
Ll(V) = L{V) = {Х : Xі Є Р) для любого г},