Обобщенный процесс плотности распределений семимартингалов с независимыми приращениями: вычисление и применения

• Автор: Хихол, Семён Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с. : 1 ил.

Содержание
Введение
1 Некоторые сведения из теории семимартингалов и их статистики и вспомогательные результаты

1.1 Триплеты локальных характеристик семимартингала

1.2 Критерии абсолютной непрерывности и сингулярности рас-

пределений семимартингалов с независимыми приращениями

1.3 Явная формула для процесса плотности локально абсолют-

но непрерывных распределений семимартингалов с независимыми приращениями

1.4 Сравнение статистических экспериментов

1.5 Вычисление триплетов

2 Два представления для обобщенного процесса плотности семимартингалов с независимыми приращениями
2.1 Формулировка результата
2.2 Доказательство теоремы
2.2.1 Сведение к случаю несингулярных мер
2.2.2 Построение доминирующей меры
2.2.3 Вспомогательные вычисления
2.2.4 Завершение доказательства теоремы
3 О сравнении некоторых бинарных экспериментов
3.1 Формулировка основного результата
3.2 Критерий эквивалентности экспериментов
3.3 Доказательство основной теоремы
3.4 Применение к одной задаче минимизации /-дивергенции
Список литературы

Введение
Вопросы эквивалентности, абсолютной непрерывности и сингулярности распределений случайных процессов, а также вид их плотности являются классическими и находят применение в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, финансовой математике.
Одним из хорошо исследованных и широко встречающихся в приложениях классом случайных процессов являются процессы с независимыми приращениями. Первые результаты о плотностях распределений непрерывных процессов с независимыми приращениями были получены Р. Камероном и В. Мартином в работах [13, 14] в связи с изучением вопроса о замене переменных в интеграле по винеровской мере. Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями и формула для их плотности были получены А. В. Скороходом [4, 5] (см. также статью И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [1]).
Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений произвольных семимартингалов с независимыми приращениями и выражение для их процесса плотности были получены Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [3] и Ж. Жакодом [22] как следствие общей теории, детальное изложение которой можно найти в монографии Ж. Жакода, А. Н. Ширяева [23].
Выражение для плотности абсолютно непрерывной компоненты одного распределения относительно другого без предположения об абсолютной непрерывности в случае процессов Леви было получено К. Сато [36]. Упомянем также работы Ч. Ньюмена [34, 35] и Ж. Мемена, А. Н. Ширяева [33], прилегающие к этому кругу вопросов.
Понятие большей информативности статистических экспериментов было введено X. Боненбластом, Л. Шепли, С. Шерманом в 1949 году

в неопубликованной работе и развито в статьях Д. Блекуэлла [11, 12]. Дальнейшее развитие теория получила, в первую очередь, в работах Л. Ле Кама и Э. Торгерсена, см. монографии [29, 41]. “Очень часто” эксперименты несравнимы между собой (что привело к введению Л. Ле Ка-мом понятия дефекта одного эксперимента относительно другого [30[), и даже если они сравнимы, то доказать это бывает непросто. Большинство из известных результатов о сравнимости конкретных экспериментов относятся к случаю гауссовских экспериментов или экспериментов с параметром сдвига, а в качестве стандартного приема при доказательстве использовался рандом изационный критерий Ле Кама.
В последние годы в финансовой математике стали появляться задачи, в которых требуется максимизировать или минимизировать /-дивергенцию по некоторому множеству нар вероятностных мер, причем нередко это требуется сделать одновременно для всех выпуклых функций /. Последнее эквивалентно нахождению наиболее или наименее информативного в некотором множестве бинарных экспериментов.
Так, задача, двойственная задаче максимизации полезности, состоит в минимизации /-дивергенции между “физической” мерой и абсолютно непрерывными локально мартингальными мерами (см., например, [27, 37]). Как правило, если локально мартингальная мера неединственна (т.е. рынок является неполным), мера, на которой достигается минимум /-дивергенций, зависит от функции /.
Весьма распространенное предположение о модели финансового рынка. состоит в том, что процесс цен есть экспонента от процесса Леви относительно “физической” меры. Для некоторых специальных / было доказано, что относительно локально мартингальной меры, доставляющей минимум в указанной выше задаче минимизации /-дивергенции, процесс цен также является экспонентой от процесса Леви (см., в частности, работы [15, 18, 19, 21, 25]), однако нет оснований предполагать, что это справедливо для всех выпуклых /.
сительно вероятностной меры <3, а 2 и г* - - соответствующие процессы
плотности, то Р(т£г:( = 0) = 0 и процессы Р и ;г*/~ Р-неразличимы. В частности, обобщенный процесс плотности совпадает с обычным процессом плотности, если Р* локально абсолютно непрерывна относительно Р.
В работе будет использован следующий частный случай леммы о сравнении. Предположим, что заданы фильтрованные эксперименты (П,Х, (Р, Р')) и (Р*, Р'*))- Предполагается,
что обобщенные процессы плотности меры Р; относительно Р и Р'* относительно Р* есть стохастические экспоненты £(Х) и £(Х*) соответственно, где X — процесс Леви и супермартингал относительно Р и X*
— процесс Леви и супермартингал относительно Р*, причем АХ — 1 и АХ* —1. Пусть фиксирована функция усечения /г : К ч 1. Обозначим {Ы,сЬ,(ИР{дх)) и (5Л, с% сЙ.Р*(с!:г)) детерминированные версии характеристик процессов X и X* соответственно. Обозначим а = Ь +
/(х — к(х))Р(дх) и а* = Ь* + /(ж — /фж))Х*(сЬ:); существование интегралов вытекает из предложения II.2.29 из монографии [23], а и а* неположительны в силу супермартингальности X и X*.
Предложение 1.19 (см. раздел 5.4 [2]) При сделанных выше предположениях для экспериментов Е = (П,Хь (Рь Р()) иЕ* = (О*, (Р[, Р]*))
справедливо соотношение Е Е*, если одновременно выполнены следующие условия:
с с*, (1.16)
для каждого со 6 (—1,0)
I (ш — х)+Р{дх) J (и — х)+Р*(дх), (1-17)
[— 1,оо) [—1,00)
для каждого и £ (0, оо)
I (х — со)+Р(дх) — а J (х — ш)+Р*{дх) — а*. (1.18)
[-1,оо) [-1,0°)