Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований

• Автор: Куркина, Анна Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Инвестиции капитала страховой компании в рисковые активы и вероятность разорения:
обзор тематики
§ 1. Модель Крамера-Лундберга и «опасность» инвестиций в рисковые активы
§ 2. Модели с диффузионным процессом риска и оптимальное
управление инвестициями
§ 3. Модификация модели Крамера-Лундберга в случае стохасти-
ческих премий: вероятность разорения при некоторых инвестиционных стратегиях
Глава 2. Оптимальное управление инвестициями без использования заимствований в модели Крамера-Лундберга
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Оптимальное управление
Глава 3. Модель Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размеров требований: различные инвестиционные стратегии и вероятность разорения
§ 1. Стратегия постоянной доли вложения в рисковый актив
§ 2. Стратегия оптимального управления инвестициями при
невозможности заимствований
§ 3. Результаты численных расчетов

Глава 4. Управление инвестициями в модели Крамера— Лундберга со стохастическими премиями
§ 1. Постановка задачи оптимального управления инвестициями
без использования заимствований
§ 2. Оптимальное управление
§ 3. Случай экспоненциального распределения размеров требований и премий при постоянной доле вложения в рисковый актив
Заключение
Литература

Введение
Описание области исследования и актуальность.
Диссертационная работа посвящена проблеме использования финансовых инструментов в целях уменьшения риска страхования.
Взаимосвязь актуарной и финансовой математики, общность ряда задач, стоящих перед современными финансами и страхованием, а также единство используемых методов неоднократно обсуждались в литературе (см. работы [1]-[3] и содержащуюся в них библиографию). Практику и теорию страхования сейчас невозможно рассматривать изолированно от практики и теории инвестирования и финансов, имеющих дело с рынком ценных бумаг [1]. Эволюция страховой индустрии идет по пути ориентирования на моделирование, основанное на соотношениях между ценными бумагами и обязательствами, между риском и капиталом [3].
Одно из центральных мест в работах, посвященных описанию участия страховых компаний на финансовом рынке, занимает исследование вероятности разорения [4]-[15]. Являясь традиционной характеристикой платежеспособности, вероятность разорения учитывается в качестве параметра при расчете резервов и премий за предоставляемые услуги по покрытию риска. При заданных параметрах процесса, описывающего эволюцию капитала, в некоторых ситуациях можно получать оценки вероятности разорения как функции начального капитала как на конечном, так и на бесконечном интервалах времени. Например, для классической модели Крамера-Лундберга в случае, если распределения размера исков не имеют “тяжелых хвостов”, справедливы экспоненциальные оценки [13], [16].
Погружение рассматриваемой модели в финансовый рынок позволяет улучшать эти оценки, управляя параметром вероятности разорения с

2.2. Оптимальное управление инвестициями
Проблема оптимального управления инвестициями в модели с диффузионным процессом риска рассматривалась в [11], [12]. Пусть Mt - общее количество денежных средств, вкладываемых в акции в момент времени t, М = {Mt} - допустимое неупреждающее управление, т.е. случайный процесс, адаптированный относительно соответствующей фильтрации, и такой, что /0Т M2dt < оо почти наверное (п.н.) для любого Т. Тогда, если 9t - число акций в портфеле компании в момент t, то Mt = QtSt для всех t, и для изменения капитала при управлении М выполняется соотношение dX1 — OidSt + dRt, а следовательно, с учетом (1.3)
dXf1 — fj,Mt dt + aMt dwt + dRt,

dXtM — + j3)dt + aMt dwt + ardW[.
Последнее соотношение можно переписать, аналогично тому, как это было проделано выше, в виде
dXf = {fxMt + /3)dt + {a2 Ml + a2r)x/2dWt. (1.26)
Рассмотрим здесь кратко решение задачи максимизации вероятности нера-зорения на бесконечном интервале времени
<рМ(и) — Р {Xf1 > 0, * > 0),
в самой простой ситуации - при отстутствии каких-либо ограничений на количество денежных средств, вкладываемых в акции. Пусть V(u) - функция Веллмана данной задачи, т.е.
V(u) — sup ipM{u). (1-27)

Тогда уравнение динамического программирования (уравнение Веллмана, см. [26]) для такой задачи имеет вид
sup ( V'(u)(MM + /3) + v"{u) [а2М2 + а2)) = 0, (1.28)
М I 2 J