Непрерывные полумарковские процессы (свойства случайных процессов, связанные с моментами первого выхода)

• Автор: Харламов, Борис Павлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 302 c. : ил

Многие задачи оптимального управления случайными процессами состоят в выборе моментов времени, когда нужно производить управляющее воздействие на процесс (см. [1,-П, 17, 30, 32, 34, 38, 68] ). Моменты эти, как цравило, являются моментами первого выхода из каких-либо множеств. В реальных ситуациях нетрудно бывает создать устройство, которое фиксирует моменты первого выхода и их композиции, а также значения процесса в эти моменты. Это дает возможность просто и достаточно полно описать процесс. Однако создавшаяся традиция задавать случайный процесс наборами конечномерных распределений [2б] ставит моменты первого выхода в разряд неудобных в математическом отношении объектов. Их задание на языке конечномерных распределений или вообще невозможно, или требует знания совместного распределения значений процесса в бесконечном числе точек [в] . Одна из задач, решаемых в диссертации, состоит в устранении этих трудностей путем изменения системы исходных элементарных данных о процессе. Такими исходными данными могут быть распределения момента и точки первого выхода из отврытого множества или совместные распределения таких пар для конечного числа открытых множеств. Встав на эту точку зрения, нужно быть готовым к тому, что устранение одних трудностей создает другие. Усилия в этом направлении вряд ли были бы оправданы, если бы не существовал класс процессов, для которых способ их задания с помощью совместных распределений пар первого выхода не был бы самым естественным. Таким является класс полумарковских процессов, обладающих свойством независимости прошлого от будущего по отношению к моменту первого выхода из отврытого множества, если фиксировано значение процесса в этот момент. Частные виды этого процесса:

ступенчатые полумарковские процессы Леви-СМита и строго марковские процессы - уже достаточно хорошо изучены (см. [28, 29,
90, 15, 23, 88] ). В диссертации исследуются полумарковские процессы общего вида [58]
Одной из основных особенностей класса полумарковских процессов является замкнутость этого класса относительно преобразования замены времени достаточно общего вида, которое, вообще говоря, не сохраняет марковость. Одной из основных проблем теории полумарковских процессов является представление любого такого процесса в виде марковского процесса, преобразованного заменой времени. Сравнительно простой вариант этой проблемы для ступенчатых полумарковских процессов (гипотеза Леви) при некотором ограничении на процесс в настоящее время решен [102] . В общем виде эта проблема еще далека от своего полного решения (см. [73, 77] ).
Полумарковские процессы общего вида, по-видимому, впервые были определены в работе [55] под названием "процессы с независимыми временами пребывания". Эти процессы названы непрерывными полумарковскими в работе [бб] по свойству их вложенных потоков первого выхода. Многими своими чертами теория этих процессов напоминает теорию марковских процессов, с которыми они тесно связаны. Поэтому в качестве работ, которые могут быть названы предшествующими, следует назвать, во-первых, работы со ступенчатым полумарковским процессам [92, 97, 98 и др.] и, во-вторых, работы по марковским процессам [14, 15, 74 и др.] . Некоторые идеи о нестандартном описании процесса заимствованы из работы [25] . Попыткой такого описания можно назвать работы [53, 54]

В настоящее время теория ступенчатых полумарковских про-

цессов развивается достаточно интенсивно, благодаря приложениям в теории массового обслуживания [24] . Исчерпывающая библиография таких работ составлена Тогельсом [101] (см.также [28, 79] ). Исследование некоторых частных видов непрерывных немарковских полумарковских процессов можно найти в работах Цинла-ра [78] . Процессы с вложенными ступенчатыми полумарковскими другого происхождения исследуются в работах Шуренкова [70]
Полумарковские процессы общего вида, в том числе и непрерывные, могут найти применение во всех тех областях, где применяются ступенчатые полумарковские процессы, т.к. служат предельными для последовательностей таких процессов. Другая возможная область их применения - это моделирование реальных процессов, развивающихся по схеме марковских процессов, но в которых нельзя пренебречь флюктуациями параметров, изменение которых равносильно замене времени, например локальная дисперсия в диффузионном процессе [30] . Полумарковские процессы могут найти применение в задачах оптимального управления. Одним из методов управления случайным процессом является управление заменой времени. Пусть (100) - стационарный случайный процесс и (УСЬ)) - замена времени - строго возрастающее отображение - Р+ , где 440)= О, УСЬ)~4 СЬ-*00) . Пусть (£(X))

преобразованный процесс. Тогда т т'

(шл = ] $а)Г№)с1г ,
О О
где Т = иЦ '^[Т^^ТСТ-*'00) . Среднее по времени преобразованного процесса может быть больше среднего по времени исходного процесса, если У '("Ь) выбрано подходящим образом, например, если УЧ^)=;[ С? , где ^ - возрастающая функция. В этом случае Ч' однозначно определена, если фикеирова-

Тогда в силу ^ -непрерывности на множестве
ГС СО}
^Тг ({) Вгг({) (п-*°э) • Пусть $еВП(г) и рд ад-/.тогда {ПТ-1'9Т и
+ и‘6^-}°в7:п,
где ^=/=/8=] (П
Предположим без потери общности, ЧТО все Ср,' = 0 "V ку равномерно непрерывны. Так как теъхщ)г(л/МкУ ь
то первый и третий члены правой части предыдущего неравенства стремятся к нулю при 1-^0 равномерно по п . С другой сторонн ^ мПи,$ (Пи,еЛ1*ЫЬ),
где интеграл берется по области и, следовательно, является непрерывной функцией ОТ
т£н.+
> " '> 5 > $■
Пусть £^0 и = (Д^Дг., . Рассмотрим две возможности на (-< со] ;

I) и /д; ] • при этом ГЗп0еД/)(^>по)л- ф О [А;]
(-■( ' п
( - IX,Н ). Отсвда Т^п4-Г^ =гп-»т-г4г|-
и на