Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин

• Автор: Нефедова, Юлия Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости в ЦПТ
1.1. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ
1.1.1. Вспомогательные утверждения
1.1.2. Случаи (1) и (111) - «малые» и «большие» значения х
1.1.3. Случай (11) - «умеренные» значения х
1.1.4. Основные результаты
1.2. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ с уточненной структурой
1.2.1. Вспомогательные утверждения
1.2.2. Основные результаты
2. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм
2.1. Нижние оценки для абсолютной константы в неравенстве Берри-Эссееиа для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами . .
2.2. Двусторонние оценки константы в неравенстве Берри-Эсссепа для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента
2.2.1. Верхние оценки
2.2.2. Нижние оценки
2.3. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм
3. Оценки скорости сходимости в предельной теореме для смешанных пуассоновских случайных сумм

3.1. Нижние оценки для константы в аналоге неравенства Бсрри-Эссеена для отрицательных биномиальных случайных сумм
3.2. Неравномерные оценки скорости сходимости в предельной теореме для смешанных пуаесоновских случайных сумм .
3.3. Оценки скорости сходимости распределений отрицательных биномиальных случайных сумм с параметром г ^ 5/2
3.3.1. Случай г < 5/
3.3.2. Случай г = 5/
Литература

Введение
Суммы независимых случайных величин традиционно являются одним из основных объектов исследования в теории вероятностей. Такое внимание к ним обусловлено тем, что сумма случайных величин -довольно удобная н зачастую разумная математическая модель для описания количественных характеристик стохастических ситуаций. Однако, даже если функции распределения случайных слагаемых известны, вычислить в явном виде функцию распределения их суммы при большом числе слагаемых как правило практически невозможно. Стандартным решением данной проблемы является использование в качестве неизвестного распределения суммы его асимптотической аппроксимации, вид которой определяется соответствующей предельной теоремой, описывающей трансформацию распределения суммы при неограниченном увеличении числа слагаемых. Как сказано в книге Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [9], «познавательноя ценность теории, вероятностей раскрывается только предельными теоремами». Наиболее популярной асимптотической аппроксимацией для распределения суммы случайных величин является нормальное распределение. Возможность нормальной аппроксимации обосновывается центральной предельной теоремой теории вероятностей. При решении вопроса об адекватности математических моделей, основанных на нормальной аппроксимации, ключевую роль играет точность аппроксимации распределения суммы случайных величии нормальным законом. В связи с этим большую важность приобретает задача построения удобных и легко вычисляемых аналитических оценок точности нормальной аппроксимации, зависящих от основных параметров задачи - числа слагаемых в сумме и их первых моментов. Об оценках, в которых вся необходимая информация о распределении слагаемых сосредоточена лишь в простых характеристиках - первых моментах слагаемых, будем говорить как о момептных оценках. Именно моментным оценкам и посвящена данная работа. Всюду далее будет

А4(ж) =
1 Г(1 - 7)х2+2/
А&К) L а1!

2(6-с)

^1+1/8гу--

'2(1 + 6)(Ь — с) J
7(1 -7))а;2|
В соответствии с (1.24) заключаем, что А4(х) ^ А4(/7), если выполнены условия

2(6 — с)
2(1 + 6)(6 — с) 5Ь
7(1 - 7)
вытекающие соответственно из (1.26) и (1.28). Далее, с учетом (1.9) имеем
(/(/г))“1 ^ 2 - /(h) >
hr (32+5ehy

^ 1 - А5(ж),

А5(ж) =
(1 - 7)2х4+4//<

.2+4/#
,1+2/й^у2+

2а2/*

2(2 + 6)(6 — с) 8Ь
-7(1 -7))ж2|.
При ЭТОМ +(&) ^ -15(/0), если справедливы более сильные условия (1.26) и (1.27). Таким образом, используя нижнюю оценку (1.7) для Ш2 — /(^)Е(А’Г)*" и неравенства (1.34), (1.19), получаем
> 1 - А5(Х) -

Аз(К) {'ухУ'пР!
(1 + 7(1 - 7)ж2) - А4(Х) ^ А6(ж),

1-А6(ж) = А4(Д)+А5(/Г)+-^^у~(1+7(1-7)ж2) ехр |-2^- | .
При этом Аб(.т) ^ Аь(К) в силу (1.26). Таким образом,
DXZ > А6(К). (1.36)
Из леммы 1.5 получаем
Е|Х* - EXj |3 ^ Е|Х/|3 + ЗЕ(Х4)2|ЕХ4| + Е|Х1*|(ЕХ1*)2.