Статистический анализ и проверка гипотез о распределении экстремумов временного ряда

• Автор: Родионов, Игорь Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Содержание
Введение

1 Статистические оценки характеристик экстремумов в загрязненных выборках

1.1 Пуассоновская предельная теорема для высоких экстремумов

1.1.1 Условия. Формулировка теоремы

1.1.2 Доказательство теоремы 1.

1.2 Оценка Хилла для выборок с загрязнениями

1.2.1 Состоятельность оценки

1.2.2 Асимптотическая нормальность оценки

2 Различение близких гипотез о хвостах распределений

2.1 Условия регулярности. Формулировка основных результатов

главы
2.2 Вспомогательные леммы
2.3 Доказательство теоремы 2.
2.4 Доказательство теоремы 2.

Введение
Настоящая работа состоит из двух глав. В первой главе диссертации рассматриваются статистические оценки характеристик экстремумов в модели выборок с загрязнениями. Классическая теория экстремумов — асимптотическая теория распределения максимума
где Х,...,Хп - независимые одинаково распределённые случайные величины, — начала активно развиваться около полувека назад, хотя её корни уходят глубоко в историю математики. В основе теории лежит фундаментальный результат, полученный Фишером и Типпетом ([1]) и позднее обобщённый Б.В. Гнеденко ([2]) — теорема экстремальных типов, также известная как теорема Фишера-Типпета-Гнеденко, которая описывает все возможные формы распределения Мп при линейной нормировке. Строго говоря, Гнеденко доказал, что если для некоторых числовых последовательностей ап > 0, Ъп случайная последовательность ап(Мп — Ъп) имеет невырожденное предельное распределение, т.е. существует такая невырожденная функция распределения С(ж), что
то С принадлежит одному из трёх экстремальных типов (т.е. существуют такие константы а > 0 и Ь, что функция распределения Н(х) := С (ах + Ь) в точности равна одной из указанных ниже функций распределения):
где Со(ж) - так называемое распределения Гумбеля, С7(ж) - класс распределений Фрегае, а С_7(ж) - класс распределений Вейбулла.

Мп = тах(Хи...,Хп),
(0.1)
Тип I: Со (ж) = ехр(—е *), ж Є ГГ
Параметр 7, возникающий в теореме Фишера-Типпета-Гнеденко, называется индексом экстремального значения (extreme value index). Пусть F{x) - маргинальная функция распределения случайной
последовательности Тогда в случае независимых наблюдений
верно
Р(Мп < х) = Fn(x), т.е. (0.1) можно переписать в следующем виде:
Fn{anx + bn) > G{x). (0.2)

Если для некоторых числовых последовательностей ап > 0 и Ьп выполнено (0.2), то говорят, что F принадлежит области притяжения распределения G, и пишут F € D(G). Известны критерии, дающие необходимые и достаточные условия принадлежности F области притяжения того или иного экстремального типа (см. например [3] или [4]). Однако есть распределения, которые не принадлежат ни одной из трёх областей максимального притяжения, например, пуассоновское распределение.
К сегодняшнему дню классическая теория экстремумов сформировалась полностью и имеет большое количество различных приложении (см. например книгу Гумбеля [5]). Позднее, начиная с работ Крамера, Лойнса, Бермана, Лидбеттера и Уотсона, возник интерес к расширению классической теории на последовательности зависимых случайных величин н на стационарные процессы с непрерывным временем. Развитие шло в следующих направлениях: создание теории для гауссовских процессов с непрерывным временем (Крамер) и стационарных последовательностей (Берман, Лидбеттер), а также доказательство результатов классической теории для некоторых типов зависимостей случайных величин (Уотсон, Лойнс).
Впоследствии Лидбеттер, Лингрен и Ротцен3, объединив эти направления, создали достаточно общую теорию, которая включала и полученные к тому моменту результаты для гауссовских стационарных последовательностей и процессов. Так, Лидбеттер ([6|, |7|) показал, что результаты классической теории, при некоторых ограничениях на зависимость далеко отстоящих членов последовательности, остаются в силе для стационарных последовательностей и некоторых важных

Очевидно, первое слагаемое асимптотически меньше, чем ^ (üF(x) J =
~ (S'(i))д i ПРИ х +°°- Докажем, что аналогичное свойство верно и для второго слагаемого. Пусть lim S"(x) = +00 или 0 (он существует по
х—Ы-оо
условию 3*). Тогда, используя условие 4*, получаем
ша l|L lim 5(31 w _ ,im £M, lim !^!W=0,
ж-И-оо s H) x-}+00 S"(x)S'(x) X-++00 A(S(x)) Х-Я-00 5(ж)
(й'дж))
что и требовалось. Если же lim S"(x) — С, С ф 0, то lim S'^(.x) =
ж—>+оо х—ос
о 5(3)(х) ( S"(x) v гг
U и тутДр — о I (g'(g,))2 ) ПРИ ж —> оо. Для доказательства того
факта, что £ (м2 (д^у)) - о (^М (д^у)) ,
м2 (sfe)) = 0 (тах ( ’ Sw )) ‘
что £
достаточно проверить, Это может быть
неверным лишь в том случае, когда

Hm №)4 =
хЛос вЩх)
(S'(x)r
Докажем, что при lim S'(x) — +00 это соотношение не выполняется.
,-г-ч+оо
Если lim S"(x) = +00 или 0, то по второму правилу Лопиталя получаем
X-4 + OO
Иш 31ш = lim АШ = ит £(зъ?(*»_ Нт 3 ШУМ = j
Х-ЧОО S'(x)S^(x) я->00 Л-(1п5"(х)) х->оо ln S"(x)
т.е. (ЗДж))3 = (5"/(х))1+°^1) при х —» оо. Такое невозможно, поскольку lim ^£/^2 = 0- Пусть теперь lim S"(x) = С, С ф 0. Тогда, очевидно,
X—>+00 ' Vх// * х—>-Фоо
lim С и
х—» + DO ж
3(5"(ж))2 _ ЗС
х->оо 5,'(х)5'(3^(ж) х->оо xS(ty(x)
Значит, Зу() > 0 такое, что Ух > уо > д1, тогда для х > у

5r,(x) — S"(y0) — ( S^x)dx > [ —dx = C'i ln — » +00,
Ж Уо x->oo