Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости

• Автор: Колодий, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Измеримость по параметру квадратических вариаций
сильных мартингалов и стохастических интегралов
1.1. Элементы теории двупараметрических сильных мартингалов
1.2. Измеримость по параметру взаимных квадратических вариаций сильных мартингалов
1.3. Измеримость по параметру стохастических
интегралов по сильным мартингалам :
Глава 2. Стохастические интегралы по сильным, мартингальным ядрам
2.1. Интегрирование по сильным мартингальным ядрам
2.2. Неравенства для моментов равномерных норм
и модулей непрерывности стохастических интегралов
2.3. Интегрирование по полям ограниченной вариации
Глава 3. Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости
3.1. Существование и единственность решений
с локально интегрируемыми траекториями
3.2. Предельная теорема для уравнений Вольтерра
на плоскости
3.3. Существование и единственность решений
с непрерывными траекториями
Заключение
Литература
Указатель символов

Введение
Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости тесно связана с теорией многопараметрических мартингалов, теорией стохастических дифференциальных уравнений, управляемых однопараметрическими и двупараметрическими мартингалами, и теорией стохастических уравнений Вольтерра на действительной прямой.
Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на 13+ активно развивается последние 30 лет. Например, в работе [5] М. Л. Клепцы-ной и А. Ю. Веретенникова получены условия существования и единственности сильного решения и условия существования слабого решения уравнения Вольтерра по винеровскому процессу с неслучайными коэффициентами. В работе Э. Парду, Ф. Проттера [47] получены условия существования и единственности решения уравнения Вольтерра с упреждающими коэффициентами. В работах А. М. Колодий [41] и [42] приведены теоремы существования и единственности сильных решений и существования слабых решений уравнений Вольтерра, содержащих стохастические интегралы по компонентам семи-мартингалов и криволинейные стохастические интегралы.
Теория многопараметрических мартингалов формируется с 70-х годов прошлого века. В работах Ж. Уолша [49], И. И. Гихмана [7], М. Доззи [29] даны определения и приведены результаты исследования двупараметрической винеровской меры, линии и множества остановки на плоскости, различных типов многопараметрических мартингалов и стохастических интегралов. В работе [9] А. А. Гущин исследовал различные типы разложений двупараметрических субмартингалов, доказал теоремы о разложении сильных субмартингалов и о разложении квадрата сильного мартингала на мартингал и слабо предсказуемое поле. В работах [10] и [11] А. А. Гущин и Ю. С. Мишура доказали существование и исследовали свойства квадратической вариации дву-

параметрического сильного мартингала. В работе [3] В. М. Бородихина исследована двупараметрическая проблема мартингалов.
Значительное количество работ посвящено теории стохастических дифференциальных уравнений на плоскости, среди которых, наиболее значительными являются работы Ю. С. Мишуры [26] и [27], работы Ж- Ли [43], Я. Тюро [48] и Н. Ланжризади и Д. Нуаларта [44].
Диссертация посвящена исследованию стохастических интегральных уравнений Вольтерра
£'(г)=т]{» + J а(г, х, £Ь(г, йх) +
М [о
содержащих интегралы по таким случайным интегрирующим ядрам (7(2, х); г,х Е Др) и г,х Е что для любого фиксирован-
ного г е Б2+ поле 7(2, ) является полем локально ограниченной вариации, а поле ) является сильным квадратично интегрируемым мартингалом.
В настоящее время развитие теории стохастических уравнений Вольтерра на плоскости представляется актуальным, что подтверждается вниманием к этой теме исследователей, развивающих стохастический анализ, и возможностью приложений теории многопараметрических мартингалов и многопараметрических стохастических интегральных уравнений к построению и исследованию математических моделей в некоторых областях естествознания. Например, в работе [45] М. Санз-Соле и К. Ровира доказали принцип больших уклонений для семейств решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости. Авторы исследуют стохастическое уравнение Вольтерра на плоскости управляемое -мерным двупараметрическим винеровским полем Ж:
Х(г) = Н(г) + 1'[/(г,х,Х(х))¥(с1х) + }1(г,х,Х(х))с1х, = [0,1]2,(2)
[о,~4
где функция / : Т2 х Ж х удовлетворяет требованию существования

= J (3(в,и)й(р(е))и(3*(в,и)
•] 1М
[ Р(е,иМв,(1и)\РСр4Е( I /3(6,х)2]1(в,с1х)у/2 (1.19)
]о,*] ]о
дляр > 1 при условии конечности правой части неравенства (1.19).
Из неравенства (1.19) очевидно следует, что
V Р/2
:| J (3(9, и)р(в, йи) У Р(9,х)2р(9,9х)
]0,г] ]0,г]
(1.20)