Непараметрические критерии проверки однородности нескольких выборок

• Автор: Черномордик, Олег Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 c. : ил

ОБЗОР

ГЛАВА I. ТОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИК ТИПА КОЛМОГОРОВАСМИРНОВА

1.1. Класс рассматриваемых статистик. Предварительные результаты

1.2. Основная теорема

1.3. Случай двух выборок

ШВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

2.І., Вопросы, касающиеся предельного распределения и

принцип инвариантности

2.2. Предельное распределение статистики критерия

2.3. Метод вычисления предельного распределения

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ АЛЬТЕРНАТИВАХ

3.1. Класс рассматриваемых альтернатив. Предварительные результаты
3.2. Предельное распределение статистики критерия при альтернативах
3.3. Метод вычисления предельного распределения при альтернативах
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

В диссертации исследуется класс непараметрических критериев однородности нескольких выборок произвольного объема, основанных на статистиках типа Колмогорова-Смирнова, Получен метод вычисления точного и предельного распределения соответствующих статистик, Найден метод вычисления асимптотической мощности критериев для определенного класса сближающихся альтернатив. Методы вычисления распределений реализованы в программах и находят практическое применение при анализе данных экспериментальных исследований.
Актуальность проблемы. Одной из задач прикладной математической статистики ([I]), имеющей широкую область применения, является задача проверки однородности нескольких выборок. Исходная задача такова. Пусть
- независимые случайные выборки объемов , У1 т из т генеральных совокупностей с непрерывными функциями распределения
В случае М - X в работе Н.В.Смирнова [25] для проверки
(2) были впервые предложены односторонняя и двусторонняя статистики
( і = і,т, пт,
(і)
ГхМу.. • Ставится задача статистической проверки гипотезы
Но- =
(2)
(4)
(3)

(5)

( Х($)--1 нрн ^*0 и = ^ при у<0) -эмпирическая функция распределения, построенная по 1-ой выборке (I-1,2) . В указанной работе было найдено предельное распределение (3), (4) при гипотезе Но в случае, когда !ц = У1,У1-> К{,- постоянные
С 1-1)1) . Вопросы, связанные с нахождением точного распределения статистик (3), (4) рассматривались в работах [12], [18], [39], [40], [44], [9], [46], [56], [53], [54], [47], [51], [55], [60], [61].
В ряде работ рассматривались Уп -выборочные непараметрические критерии проверки гипотезы (2), основанные на обобщениях статистик (3) и (4), так называемых ([9]) статистиках типа Колмогорова-Смирнова. Способы построения статистик УП -выборочных критериев описывались в работах [52], [9]. Предельное распределение при гипотезе Н0 для некоторых из них в случае М = I> Н, У1-* о* находилось в работах [43], [45]. В работе [52] было найдено предельное распределение статистики
Т = зьср £ Л4[ГЛ (Х)-(£^ГН (Л)УГ^] (б)
* 1=1 1
в предположении (2), когда уп1п.( Щ) -» оо (‘1 = 1)Уп) . В работе [42] для проверки (2) предлагалась статистика
I- 5*/> [ Ох) - Г^Х)]. ‘7)
В указанной работе находилось точное (когда Щ = У1 ) и предельное (когда ^1= И., И -* 00 ) распределения статистики (7) при гипотезе Но • В случае произвольных уп, У1т табулирование распределения статистики УП - выборочных критериев осуществляется методом Монте-Карло ([38], [48], [37]).
Для поставленной задачи - проверки гипотезы (2) об однородности выборок (I) в случае УЯ> X наибольшую практическую ценность, по-видимому, представляют отмеченные выше работы [52] и [42]
В настоящей диссертационной работе рассматривается класс

Отсюда, учитывая (2. 2. 3), имеем
(2. 2. 14)
Этим завершается доказательство теоремы 2. 2, I.
Заканчивая этот параграф, отметим, что приведенные в доказательстве рассуждения будут нами использоваться в главе 3 для нахождения не только собственных значений матрицы А квадратичной формы, но и для построения самого ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.
2.3. Метод вычисления предельного распределения
Как следует из теоремы 2. 2. I, при Л получаем что соответствует случаю, рассмотренному в [52]. Для произвольных положительных Ар не представляется возможным получить
аналитическое выражение для предельного распределения. Следующая теорема устанавливает способ вычисления предельного распределения (2. 2. 2) статистики (I. I. 5) при нулевой гипотезе.
Теорема 2. 3. I. Пусть выполнено 2. I. I. Обозначим р=т-х)
X-*/>), 0 - нулевой вектор размерности р , ^ - С;/Кс (с=£^уг) ^ (]-х]к ) к< т) - различные между собой значения, принимаемые постоянными X; и /у -число ^ , равных (^7]~к). Пусть ^ (Ь1Гр) “ положительные постоянные, состоящие из значений ^ с кратностью ^"1 ( -1, К ) и Х-Х корней уравнения

(2. 3. I)