Гауссовская аппроксимация и принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних

• Автор: Аркашов, Николай Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 73 с.

ГЛАВА 1. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм скользящих средних

§ 1. Введение и формулировка основных результатов

1.1. Принцип инвариантности в форме Штрассена

^ 1.2. Принцип инвариантности в форме Донскера. Теорема сходимости

1.3. Принцип инвариантности в форме Донскера. Оценки скорости сходимости

§ 2. Доказательство основных результатов

2.1. Доказательство предложения

2.2. Доказательство теоремы

2.3. Доказательство предложения 2 и следствия

2.4. Доказательство теоремы

2.5. Доказательство предложения

2.6. Доказательство теоремы
ГЛАВА 2. Принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних
§ 1. Введение и формулировка основных результатов
1.1. Принцип больших уклонений
1.2. ПБУ для гауссовских процессов в (7[0,1]
1.3. ПБУ для процессов частных сумм скользящих средних
§ 2. Доказательство основных результатов
2.1. Схема доказательства ПБУ в С[0, 1]
2.2. Доказательство предложения
2.3. Доказательство теоремы 4 в пространстве С[0, 1] для верхней зоны
уклонений
2.4. Доказательство теоремы 4 в пространстве С[0, 1] в нижней зоне уклонений
2.5. Доказательство теоремы 4 в пространстве Ьр[0, 1], р >
ф 2.6. Доказательство предложения
Список литературы

Работа посвящена исследованию точности гауссовской аппроксимации, а также изучению логарифмической асимптотики вероятностей больших уклонений нормированного процесса частных сумм стационарно связанных наблюдений, имеющих структуру так называемых скользящих средних последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, в случае притяжения этого процесса к фрактальному броуновскому движению с произвольным параметром Хёрста. Отметим, что форма зависимости упомянутых скользящих средних, вообще говоря, не укладывается в общепринятые схемы. В частности, классическое сильное (или равномерно сильное) перемешивание здесь уже может не иметь места. Стало быть, в данном случае далеко не всегда могут быть использованы классические результаты по асимптотическому анализу сумм стационарно связанных случайных величин.
Интерес к подобным предельным теоремам наблюдается уже давно (см., напри-мер, [8], [9]) и объясняется ярко выраженной прикладной направленностью рассматриваемой в диссертации модели. Например, подобные случайные процессы частных сумм возникают в финансовой математике и теории страхования.
В классической монографии И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [9] впервые приводится одномерная центральной предельной теоремы для нормированного процесса частных сумм скользящих средних. В работе Ю. А. Давыдова [8] доказывается функциональный вариант центральной предельной теоремы - так называемый принцип инвариантности в форме Донскера (теорема сходимости). В п. 1.2 первой главы диссертации теорема 2 усиливает последний результат, снижая моментные ограничения на исходную последовательность случайных величин, по которым строятся скользящие средние. Кроме того, мы усиливаем соответствующий результат П. Биллингсли [2] в случае притяжения упомянутого процесса частных сумм к винеровскому процессу, значительно ослабляя условия на коэффициенты, с помощью которых строятся скользящие средние, при тех же оптимальных моментных ограничениях на упомянутую исходную последовательность случайных величин. Мы также частично усиливаем один результат П. Холла и К. Хейди [26], приводя достаточно широкий класс упомянутых выше коэффициентов, который не удовлетворяет условиям в [26], но для которого справедлив отмеченный выше принцип инвариантности Донскера (см. вторую часть теоремы 2 и замечание 7).
Заметим, что метод доказательства в [2] сводит исходные процессы частных сумм к аналогичным процессам, но построенным по “срезанным” скользящим средним с конечным набором порождающих коэффициентов. Для видоизмененного процесса применялись известные предельные теоремы для процессов частных сумм стационарно связанных т-зависимых случайных величин, что дало в итоге существенное огрубление достаточных условий сходимости. Авторы в [26] использовали приближение процессов частных сумм скользящих средних с помощью мартингалов и применили соответствующие предельные теоремы. Этот более тонкий подход несколько ослабил ограничения в [2] на коэффициенты, порождающие скользящие средние. В настоящей диссертации при доказательстве соответствующей теоремы сходимости (см. далее вторую часть теоремы 2) используется принципиально иной подход, а именно, представление исходного процесса частных сумм как линейного преобразования процесса с независимыми приращениями (классического случайного блуждания с независимыми одинаково распределенными скачками) с последующим использованием соответствующего метода одного вероятностного пространства.
Далее, в первой главе в п. 1.1 и п. 1.3 мы с помощью метода одного вероятностного пространства получаем также оценки скорости сходимости в принципах инвариантности в форме Штрассена (см. теорему 1) и Донскера (см. теорему 3 и замечание к ней), где существенно используются результаты Я. Комлоша, П. Майора и Г. Туш-нади. Ранее этот подход применялся в работах К. Вонга, И. Лина и К. Галэти [32], а также Т. Константопулоса и А. И. Саханенко [28].
Мы строим процесс частных сумм скользящих средних и фрактальное броуновское движение на одном вероятностном пространстве так, что их разность оказывается малой по сравнению с самими процессами. В принципе инвариантности Штрассена мы несколько расширяем класс предельных гауссовских процессов по сравнению с [28] и [32]. В п. 1.3 первой главы мы доказываются также неравенства (см. теорему
3), которые существенно используются при получении принципа больших уклонений в так называемой зоне нормальных уклонений (см. доказательство теоремы 4 для нижней зоны уклонений).
Основным результатом второй главы является принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Наибольший прогресс в этой области достигнут для процессов с независимыми приращениями (см. [4], [13], 131]), гауссовских процессов (см. [3], [12], [23]) и марковских процессов (см. [6], [31]). Однако процесс частных сумм скользящих средних в общем случае не принадлежит ни одному из указанных классов. В связи с этим отметим, что в диссертации впервые доказан принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Инструментом для получения этого результата стал соответствующий результат А. А. Пухальского для пространства С[0, 1] (см. [16], [30]). Кроме того, мы использовали вышеупомянутый результат из первой главы, касающийся гауссовской аппроксимации, а также экспоненциальные неравенства для сумм скользящих средних - аналоги классического неравенства С. Н. Бернштейна. Во второй главе (см. предложение 5 в п. 1.2) мы также устанавливаем связь между функцией уклонений для фрактального броуновского движения и нормой в так называемом пространстве Камерона-Мартина для распределения процесса фрактального броуновского движения в С[0,1].
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и латинскому. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [21], [22].
Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю профессору Игорю Семеновичу Борисову за предложенную интересную тему исследования, помощь и внимание к работе, ценные замечания и советы. Автор благодарит также профессора Анатолия Альфредовича Могульского за совместное творчество при получении результатов второй главы диссертации.
ГЛАВА 2.
Принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних
§ 1. Введение и формулировка основных результатов.
Во второй главе диссертации исследована логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений процессов частных сумм стационарно связанных наблюдений, имеющих структуру так называемых скользящих средних последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, в случае притяжения этого процесса к фрактальному броуновскому движению с произвольным параметром Хёрста.
1.1. Принцип больших уклонений.
Пусть X - сепарабельное банахово пространство с нормой |х|, В - ст-алгебра всех борелевских подмножеств X. Функцию I = 1(х), отображающую X в расширенную вещественную полуось [0,оо], называют функционалом действия в X, если
1) I непрерывна снизу в каждой точке х G X, т. е.
lim inf 1{хп) > 1(х);
Хп-+Х
2) при всех конечных t > 0 множество {х е X: I(x) Пусть заданы функционал действия / в X, вещественная функция г (и) -* оо при и оо и семейство вероятностных мер {Qu}u>a на В. Говорят, что семейство {Qu}u>o
удовлетворяет (I, г(и))-принципу больших уклонений (ПБУ) в X, если выполнены следующие два соотношения ([6], [16], [30]):
а) для любого замкнутого множества £/СХ
lim sup —г-г log Qu{U) < - inf Дх),
ix—foo TU)
б) для любого открытого множества ГСХ
liminf-^-rlogQu(V) > — infj(x), и-юо r(u) ' — xev 4 '<
Для любого множества A e В положим
/0(А) := inf/(х).
х£А
Легко видеть, что Д(-) - монотонно убывающая функция множества, т. е. 1о{А) > 1о{В) при Л С В, В частности, если для некоторого А е В имеет место равенство 1о(А°) = 1о(Ас) (включая случай бесконечных значений), где А° и Ас - соответственно