Финальные вероятности марковских процессов эпидемии

• Автор: Мастихин, Антон Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Содержание
Введение

Глава 1. Ветвящиеся процессы с взаимодействием и процессы эпидемии

1.1. Однородные марковские процессы на множестве

состояний Ап. Дифференциальные уравнения Колмогорова

1.2. Многомерные производящие функции

1.3. Ветвящийся процесс с взаимодействиями частиц

типов Т
1.3.1. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей
1.3.2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей
1.3.3. Уравнения для двойной производящей функции
1.4. Марковские процессы эпидемии
1.4.1. Процесс эпидемии Вейса
1.4.2. Процесс эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика
1.4.3. Повторяющаяся эпидемия
1.4.4. Эпидемия Вейса с размножением переносчиков
1.4.5. Эпидемия Вейса с иммиграцией переносчиков
1.4.6. Эпидемия с приобретением иммунитета
Глава 2. Финальное распределение для марковского
процесса эпидемии Гани
2.1. Определение процесса
2.2. Задача о финальных вероятностях
2.3. Стационарное первое уравнение Колмогорова
2.4. Интегральное представление для экспоненциальной производящей функции (р т1)
2.5. Асимптотические свойства финального распределения (р ф 1)

2.6. Интегральное представление для экспоненциальной производящей функции (р = 1)
2.7. Асимптотические свойства финального распределения (р = 1)
2.8. Вычисление функции Римана
Глава 3. Финальные вероятности марковского процесса
эпидемии Беккера
3.1. Процесс двойной эпидемии
3.2. Задача о финальных вероятностях
3.3. Интегральное представление решения системы уравнений Колмогорова
3.4. Распределение финальных вероятностей и предельная теорема
3.5. Вычисление числовых характеристик марковского процесса
Результаты и выводы
Литература

ВВЕДЕНИЕ
1. Актуальность темы. В диссертационной работе рассматриваются марковские случайные процессы с дискретным множеством состояний iV3, N = {0,1,2,..и непрерывным временем t,t £ [0, оо), интерпретируемые как процессы распространения эпидемии.
По точным решениям уравнений различных марковских процесов эпидемии и способам их вывода имеется обширная литература. Первыми детально рассмотренными марковскими процессами эпидемии были процесс эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика [42] и процесс эпидемии Вейса [62]; оба этих марковских процесса определяются как процессы рождения и гибели на множестве состояний IV2. В процессе эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи появляются два переносчика инфекции. Такой марковский процесс сложен для изучения; ряд результатов получен асимптотическими методами A.B. Нагаевым, А.Н. Старцевым и М. Мирзаевым [32], [33], [34], [38], [31].
В процессе эпидемии Вейса при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи остается только переносчик инфекции, т. е. здоровая особь после контакта с переносчиком инфекции удаляется из популяции (популяция находится под наблюдением, но первоначальные переносчики инфекции не могут быть выявлены). Марковский процесс эпидемии Вейса более доступен для изучения; имеются многочисленные обобщения процесса Вейса на случай Nn. В диссертационной работе рассматриваются определенный Дж. Гани марковский процесс на N3, интерпретируемый как двустадийный процесс распостранения СПИД, и определенный II. Беккером процесс на N3, интерпретируемый как двойная эпидемия.
Задача вычисления финального распределения вероятностей для марковского процесса на N2 решалась в специальном случае ветвящегося процесса [21], [36], когда переходные вероятности связаны нелинейным соотношением и известно нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции переходных вероятностей. Процессы, рассмотренные в

и превращается в частицу типа Т. Процесс переходит в состояние, соответствующее вектору (07,0:2 — 1)- Кроме того, через случайное время т, Р{т1 < = 1 — частица типа Т умирает и процесс переходит
В состояние, соответствующее вектору (от — 1,0:2). Случайные величины т*, Тд независимы, в состоянии (ад, аг) процесс находится случайное время та ~ тт{тд,т}. Далее следует аналогичная эволюция процесса (см. рис.
Рис. 1.1. Скачки процесса эпидемии Вейса.
Марковский процесс детально исследовал Г. Вейс [62], как модель эпидемии, вызываемой переносчиками инфекции. Он рассматривал популяцию, состоящую из восприимчивых к инфекционному заболеванию особей, в которую добавлены переносчики инфекции. Переносчики не обладают различимыми признаками и их существование может быть обнаружено только при наблюдении появляющихся новых инфициированных персон, которые тут же удаляются из популяции. После начального введения переносчиков система остается закрытой и извне переносчики не появляются. Эпидемия развивается до тех пор, пока либо все начальные переносчики вымрут, либо эпидемия не охватит всю популяцию.
При отсутствии частиц типа Т (переносчиков) случайный процесс останавливается, то есть состояния (0,72), 72 = 0,1
Введем производящую функцию финальных вероятностей
1.1).
(аьа2)
(0:1,02) —> («1,02 - 1)
(0:1,02) —* (0:1 - 1,ог2)
(0,72)