Распределение функционалов от броуновского движения, остановленного в различные случайные моменты

• Автор: Вагурина, Ирина Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 107 с.

Обозначения

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Результаты из теории распределений функционалов от диффузионных процессов

§2. Некоторые результаты из теории дифференциальных уравнений второго порядка

§3. Гипергеометрическое уравнение

Глава 2. Броуновское движение, остановленное в моменты первого выхода и моменты, обратные к аддитивным функционалам

§1. Введение

§2. Распределения функционалов в моменты, полученные при помощи только операции минимума

§3. Моменты, образованные из моментов На)ь и VI (О, т),

^2(0, Т2)
§4. Описание общего случая, когда момент остановки содержит операции максимумов и минимумов

Глава 3. Броуновское движение, остановленное в моменты обратные к размаху, моменты первого выхода и моменты, обратные к аддитивным функционалам
§1. Введение
§2. О распределении функционалов в момент 6", при условии = 9 у
§3. О распределении функционалов в момент
§4. О распределении функционалов в момент
§5. Приложения
§6. Распределение функционалов в случайное время, равное максимуму из двух моментов
Глава 4. О диффузионных процессах, отвечающих гипергеометрическому уравнению
§1. Введение
§2. О распределении функционала специального вида в показательный момент времени
§3. О распределении интегрального функционала при интегрировании по полупрямой
§4. О диффузионном процессе, отвечающем гипергеометрическому уравнению Гаусса

Литература

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Диссертация делится на главы, главы - на параграфы. В пределах каждой главы используется двойная нумерация: первая цифра обозначает номер параграфа, вторая - порядковый номер формулы, теоремы и т.п. внутри этого параграфа. При ссылке на формулу из другой главы оговаривается, о какой главе идет речь.
:= обозначает ’’полагаем по определению”, ’’обозначаем”.
Р,(.) := Р(-|Иг(0) = х).
Ех{.}:=Е{-|ИД0)=я}.
1д(-) - индикаторная функция.
Е«ИМ} “ Е{£(ы)1д(ш)}.
Е*{£И;т;Н 6 (1у} := ~Ех{^(ич)1)(ш) < у}<1у.
£ - производящий оператор.
в(-) - шкала.
т(') - мера скорости.
/+ - правая производная относительно шкалы.
р(Цх,у) - переходная плотность относительно меры скорости.
С7(х, у) - функция Грина.
<р - убывающее фундаментальное решение.
•ф - возрастающее фундаментальное решение.

U'(aj+) - U'(a,j—) = 2ЪЩа,), j = 1,... ,m, (2.33)
{7(a) = 0, {7(6) = 0. (2.34)
Доказательство. Докажем эту теорему, как и предыдущую, при 0itk = 0, I = 1 п, к = 1 q и yj — 0, j = 1 т. Для краткости будем писать иг вместо гу(0, тг). Функция U^(x) перепишется в виде
U^(x) = Ex{F(W(H^b(6,T)))exp(-A0(H^b(6,m-,H*nb = Ц-Условие Н£ь{0) т) = i-v означает, во-первых, что
а < inf W(s) sup ИДв) <6 и, во-вторых, что для I = l n, I ф г выполняются неравенства
J 9i(w(v))dv

Предложение 2.1 можно обобщить на случай, когда под знаком математического ожидания стоит индикатор события, не зависящего отвеличин г;. Тогда аналогично предложению 2.1 функцию [ДГДх) можно преобразовать следующим образом:
{7(г)(х) = Ex$yF(W(нг)) ехр(-Л0(пг))х

х TlW / gi{W(v))dv);a^ iirf ИДв), sup ИДй)
Ы °
с п
-ExlF(W(vr))exp(- [f(W(v))+ ^Ai0,(ir(t;))) J t
a ^ inf ИДв), sup W(s)<&}.
O^s^tv OCsil'r ’

l^r