Стохастические версии неравенства Пуанкаре и логарифмического неравенства Соболева

• Автор: Абакирова, Айгуль Тилековна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил.

Содержание
Введение

Общая характеристика работы

Глава 1. Неравенства для процессов с независимыми приращениями

1.1 Неравенство Пуанкаре

1.2 Логарифмическое неравенство Соболева

1.3 Обратные неравенства

1.4 Обобщенные гиперболические

Глава 2. Бесконечномерный случай

2.1 Неравенства, типа Ф-Соболева

2.2 Неравенства для дисперсий с кратными производными

Приложение. Бесконечномерный анализ для процессов с независимыми приращениями

Глава 3. Неравенства для скошенного броуновского движения
3.1 Конструкции скошенного броуновского движения
3.2 Неравенства Пуанкаре и логарифмическое Соболева
Список литературы

Введение
Настоящая диссертация посвящена стохастическим версиям таких классических функциональных неравенств как неравенство Пуанкаре и логарифмическое неравенство Соболева. Пусть £ - стандартная нормальная случайная величина, £ ~ ЛГ(0,1), функция / € C1(M)nL2(A), где А = Law£. Неравенство Пуанкаре утверждает, что
от < е (.г (о)2.
Неравенство для гауссовских случайных величин получено в работе Чернова [1] в связи с классической изопериметрической задачей.
Предположим, что / € С1 (К), /,/' € Lr(А). Тогда из логарифмического неравенства Соболева следует, что / 6 L2 log L( А) и
Ent/2(0<2E(/'(0)2,
где Ent/2(£) := Е/2() log /2(£) - Е/2(£) log Е/2(£), константы в неравенствах неулучшаемы. Логарифмическое неравенство Соболева установлено в статье Gross [2], автор показывает, что выполнение неравенства для некоторой меры эквивалентно гиперсжимаемостн марковской полугруппы операторов, для которой данная мера является инвариантной.
Рассмотрим на [0, оо) вероятностные плотности
p(s; а, Ь, и) — с2(а, 6, i/)s" *е (os+6/s)/2
Нормирующая константа с-2 (а, 6, и) = где К „(у)

5 / .s'/-2e~(as+6/,9)/2a!,s1 у > 0. модифицированная функция Бесселя 3 о
рода порядка I/. Область определения параметров: а > 0, b > 0 при v < 0; а > 0, b > 0 при и *= 0 и a > 0,6 > 0 при и > 0.
Вероятностные распределения с плотностями p(.s; а, Ъ, и) называются обобщенными обратными гауссовскими GIG = GIG (a. b, v).
Обобщенным, гиперболическим; распределением, называется распределение случайной величины
h — р, + Ра2 + ае,
где /д/3 £ R. сг2 ~ GIG, е ~ А/*(0,1), але. Такие распределения образуют класс
GH ~ GH(a, b, р., р, и)
GH = Е<тгЛ/’(ц + pa2, а2) = N о GIG
Барндорф-Нильсен и Халгрин в 1977г. [35] показали, что а2 и h— безгранично делимые случайные величины. Рассмотрим процесс
Ht = fit + pTt + Вт01 > 0, где Tt - субординатор, L(GIG), ВМ jl Т.