Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме при ослабленных моментных условиях

• Автор: Попов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ для сумм независимых случайных величин с конечными третьими абсолютными моментами

1.1 Вспомогательные результаты. Оценки экспоненциальных

моментов усеченных случайных величии

1.2 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ

1.2.1 Случай «малых» и «больших» значений ж

1.2.2 Случай «умеренных» значений х

1.2.3 Основные результаты и вычисления

1.3 Уточнение скорости сходимости «хвостов» в ЦПТ

2 Оценки скорости сходимости в ЦПТ для сумм независимых случайных величин при ослабленных моментных условиях
2.1 Равномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ при существовании моментов не выше второго
2.1.1 Обозначения и вспомогательные результаты
2.1.2 Основные результаты
2.1.3 Об эффективности и границах применимости используемого метода
2.2 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ при
существовании моментов не выше второго
2.2.1 Обозначения и вспомогательные результаты
2.2.2 Основные результаты
2.2.3 Уточнение оценок для случая одинаково распределенных слагаемых
2.3 Оценки скорости сходимости в ЦПТ при ослабленных моментных условиях

2.3.1 Равномерные оценки скорости сходимости в ЦГ1Т
2.3.2 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ
Литература
Приложение. Таблицы
Приложение. Графики

Введение
Объект исследования. Суммы случайных величин традиционно являются одним из основных объектов исследования в теории вероятностей. Интерес к схеме суммирования случайных величин особенно усилился в связи с созданием и развитием теории ошибок измерений, основы которой были заложены П.-С. Лапласом, предложившим считать ошибку наблюдения результатом суммарного эффекта большого числа независимых элементарных ошибок.
Вторая причина привлечения внимания к схеме суммирования - это появление большого числа линейных прикладных и теоретических задач в экономике, физике, технике, страховании и других областях, где суммы независимых случайных величии оказываются удобными и легко интерпретируемыми математическими моделями для описания количественных характеристик стохастических ситуаций.
К сожалению, точные и пригодные для вычислений формулы образуют в теории вероятностей скорее исключение, нежели правило. В полной мере это касается операции сложения независимых случайных величин, которой соответствует операция свертки их распределений. Это обстоятельство приводит к тому, что, за редкими исключениями, даже при известных функциях распределения слагаемых вычисление в явном виде функции распределения их суммы становится крайне затруднительным, а при неизвестных распределениях слагаемых - невозможным. В тех же случаях, когда функцию распределения суммы удается выписать явно, она оказывается малопригодной для практических вычислений ввиду того, что ее сложность растет с ростом числа слагаемых. Для таких функций прямые вычисления уже для сумм нескольких десятков слагаемых становятся невозможными, в то время как в практической деятельности часто приходится иметь дело с суммами сотен и тысяч слагаемых.
Указанное обстоятельство порождает необходимость использования аппроксимаций распределения суммы независимых случайных величин, которые должны быть пригодны для непосредственных вычислений и

В справедливости этого неравенства можно убедиться, показав, что функция ех — 1 — х — ж2/2 — ж3/6 выпукла вниз и, соответственно, имеет единственный минимум в точке х = 0, который равен нулю. Имеем
. — Ь?(т1) . /г2сг|
Еехр |/.х, - > 1 + Е
+ ф {Х- 2ЛХ* + Дф +
+ 1е (- 3x1 'М + .'М.'М

Теперь воспользуемся неравенствами из леммы 1.1.
//3а2А /г4ст| / КАрк кАаАк къаАфк кьстьк
+ ~) + V 6 1 8р Ж) 1 “

[к к2 к3 кАак к3ак/Зк к6ак к5ак/Зк
м‘Дд++<гУ‘+чг++чг+ч
Сначала найдем условия, при которых Мк 1. Имеем
к—1 к= 1 к
Ь3 Ь6 п Ь5 п
+ 2Ё*+48Ё + Е*-
у к=1 /с=1 у Л
Далее применим (1.30) и элементарное неравенство

Е'мЕч > Х{ 0> *= 1>

г— г=1
справедливое при любом р > 1. Получим
Е ( + + у) + у вд/3+
+ 2у2Впп3 + 48 + 2пг/3 Л) (ж),