Системы массового обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами

• Автор: Руденко, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами

1.1 Введение

1.2 Система с независимо функционирующими приборами на

фазах

1.2.1 Описание модели

1.2.2 Стохастическая ограниченность для систем массового

обслуживания в случайной среде

1.2.3 Эргодическая теорема для процесса Ai(t)

1.2.4 Экспоненциальный случай
1.3 Система с синхронно функционирующими приборами
1.3.1 Описание модели
1.3.2 Эргодическая теорема
1.3.3 Предельная теорема в условиях высокой загрузки
1.3.4 Алгоритм вычисления о2 при постоянных и
1.4 Система с приборами, функционирующими в нротивофазе
Глава 2. Система MG1 с ненадежными приборами
2.1 Введение
2.2 Описание моделей
2.3 Различные подходы к определению функций U(x) и G(x)
2.3.1 Модели для оценки функции U(x)
2.3.2 Модели для оценки функции G(x)
2.4 Эргодпческпе теоремы для систем типа M|G|l|oo с ненадежным прибором
2.5 Предельное распределение числа требований в системе
М|С7|1|оо с ненадежным прибором (I —> оо)
2.6 Высокая загрузка
2.7 Операционные характеристики системы
Глава 3. Приложения к анализу транспортных систем
3.1 Регулируемый перекресток автомобильных дорог
3.2 Автомобильная дорога с двумя светофорами
3.3 Нерегулируемые перекрестки автомобильных дорог
3.3.1 Описание моделей
3.3.2 Модифицированная бесконечноканальная система
а |<7|оо
3.3.3 Модели с односторонним движением по основной трассе
3.3.4 Модель с движением но основной трассе в двух направлениях
Литература

Введение
Диссертация подготовлена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории массового обслуживания (теории очередей).
Диссертация посвящена исследованию систем массового обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами, в которых функционирование обслуживающего устройства может быть прервано поломкой, после чего в течение некоторого времени (периода восстановления) происходит его ремонт.
Основное внимание уделяется отысканию условий эргодичности систем с ненадежными приборами, а также нахождению их операционных характеристик в стационарном режиме.
Определение условий эргодичности процессов, описывающих функционирование систем, является одной из первых задач, которые приходится решать при анализе систем обслуживания. Эти условия представляют собой соотношения между параметрами модели, при которых не образуется бесконечно больших очередей. Доказательства соответствующих теорем приводят к анализу достаточно сложных случайных процессов, вообще говоря, не марковских. Если же удается построить цепь Маркова, описывающую функционирование системы, то доказательства предельных теорем основываются на результатах для марковских процессов. Одними из первых работ в данном направлении являются [19] (Kendall, 1959) и [46] (Foster, 1953). В статьях найдены достаточные условия существования стационарного распределения у цепей Маркова, связанных с очередью в системе. Монография [14] (Боровков, 1999) посвящена анализу свойств эргодичности и устойчивости широкого класса случайных процессов (цепей Маркова, стохастически рекурсивных последовательностей и рекурсивных цепей и др.). Анализ систем обслуживания часто сводится к изучению марковских

также числу требований, поступивших и обслуженных в Введем последовательность
А((п,є) = max(0,А((п—1,є) + (єп — г](1): п= 1,2
(п,є) < Лі(гі, є) < А((п, є) + г)ї(пє)і (1.39)

l(n, є) = max {j < n : Af (t) = 0 для некоторого t Є К.*;«)}- и-«)
Доказательство леммы проводится аналогично тому, как подобное неравенство устанавливается в [3| (Афанасьева, Баштова, 2008). Там же показано, что £Щп £) —> 0 при є —> 0. Это означает, что (1.35) достаточно доказать для функции F~(x) = lim Р{А((п, є) < ж}.
п—їоо

Обозначим Q = ф) — rfn и Ufx = Cr Из (1.38) находим, что

А7(п,е) = max UL U( = 0.
0 так что
Р£ (х) = Р (sup U; < х . (1.41)
I д>0 J
Положим а‘ = EQ. Теперь воспользуемся следующим результатом, полученным в [11] (Боровков, 1972).
Теорема 6. (Боровков). Если для некоторого 8 > 0 существует E(Q()2+S и
lim EU = 0, lim DU — а2,
£->0 £->0
то для любого у >
Р {sup UEn > уае~1 —> е~2у/а2 при є —> 0. (1-42)
I п> о J
В силу условия (1.34) в рассматриваемой ситуации Е (С,1)2+5 < со. Обозначим vE — число требований, поступивших в систему Af за время