Lp-значные случайные меры и стохастические уравнения

• Автор: Лебедев, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 288 с.

Глава 1. Мартингалы и стохастические интегралы §1.1. Фильтрации, мартингалы и случайные меры § 1.2. Проекции случайных процессов и мер на сг-алгебры, порождаемые стохастическими интервалами

§ 1.3. Семимартингалы и стохастические интегралы

Глава 2. ц-конечные Гр-значные случайные меры §2.1. Основные свойства Позначных случайных мер §2.2. Позначные случайные меры, порождаемые семимар-тингалами и целочисленными случайными мерами
§ 2.3. Расширение фильтрации и связанные с ним понятия §2.4. Поведение Гр-значыых случайных мер при замене фильтрации
§2.5. Зависимость стохастических интегралов по Гр-знач-ным случайным мерам от параметра

Глава 3. Некоторые свойства слабой и слабо-сильной сходимости вероятностных мер

§3.1. Слабо-сильная сходимость вероятностных мер и применение к ней теоремы Скорохода
§3.2. Пространство Скорохода и его основные свойства §3.3. Критерии относительной компактности семейств распределений на пространстве Скорохода

§ 3.4. Плотное мажорирование скачков для последовательности случайных процессов

Глава 4. Стохастические дифференциальные уравнения с Гр-значными случайными мерами

§4.1. Сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений

§4.2. Существование слабого решения стохастического дифференциального уравнения с ТЛзначной случайной мерой §4.3. Условия отсутствия взрыва решения стохастического дифференциального уравнения с Гр-значной случайной мерой
§4.4. Условия потраекторной единственности решения стохастического дифференциального уравнения с Ьр-значной

случайной мерой
Список литературы
За всю вторую половину XX века получила большое развитие теория мартингалов и основанного на ней стохастического интегрирования. Первое систематическое изложение основ теории мартингалов проведено ещё Дубом и Мейером в 50-е-60-е годы. Она в значительной мере базируется на т.н. общей теории случайных процессов, основными объектами которой являются фильтрации (потоки сг-алгебр), моменты остановки и связанные с ними понятия и основы которой были заложены в те же годы Дубом, Чжуном и Мейером и в дальнейшем развиты группой страсбургских математиков, в частности, Деллашери. Сама же теория мартингалов получила своё дальнейшее развитие в б0-е-70-е годы в работах Деллашери, Куниты, Ватанабэ и других математиков. С другой стороны, стохастический интеграл по винеровскому процессу был введён ещё в 40-е-50-е годы Винером и Ито (последним — и по пуассоновской мере), и дальнейшее развитие теория стохастического интегрирования по мартингалам и мартингальным случайным мерам получила в 70-е годы в работах упомянутых выше математиков, а также Жакода, Ширяева и других. В качестве одной из наиболее общих ведущих систем для стохастического интегрирования, к которой может быть сведено подавляющее большинство рассмотренных ранее частных случаев стохастических интегралов, Бихтелер и Жакод [7] ввели понятие сг-конечной 7ур-значной случайной меры. В этой статье не только приведены основополагающие результаты для теории таких мер, но также продемонстрирована возможность сведения к этому понятию большинства известных случаев стохастического интегрирования, как конечномерных, так и бесконечномерных.
На этой основе развивалась и теория стохастических дифференциальных уравнений как уравнений с приращениями стохастических интегралов на бесконечно малых промежутках времени. Такие уравнения со стохастическими интегралами по винеровскому процессу и пуассоновской мере изучались ещё Ито в 50-е годы. В дальнейшем теория стохастических дифференциальных уравнений развивалась в разных направлениях. Во-первых, стали рассматриваться решения таких уравнений не только сильные, до-

В частности, если 71 = О, то Т может быть произвольным моментом остановки и 7~т,г — Тт, если 71 — Л, то Т достижим и также Пт,г — Пт, а если 71 = V, то Т предсказуем, а Тт,г = Пт-- Отсюда как следствие получается, что если X — локальный мартингал, то РХ — X_, где РХ — проекция процесса X на а-алгебру V, и E(vYTl{T Впредь пусть 71а есть ст-алгебра на ПхМ+, порождаемая стохастическими интервалами вида [5, оо[ для 71-достижимых моментов остановки Т, а 71% определяется для 71р на (П,.?71*,#11,?) аналогично 71а для 71 на (Q, 7F, £, Р). Пусть также °Х, гаХ, ГХ и РХ означают проекции случайного процесса X соответственно на ст-алгебры О, 71а, 71 и V.
Справедлива следующая теорема, показывающая, что проекции всевозможных 5-согласованных типов отличаются только на “исключительных” множествах.
1.2.3. Теорема. Пусть X — ограниченный измеримый процесс. Тогда множество {°Х ф гаХ} является объединением счётного набора графиков 71р-вполне недостижимых $р-моментов остановки, множество {гаХ ф ГХ} является объединением счётного набора графиков 71р-достижимых $р -моментов остановки, а множество {ГХ ф РХ} — объединением счётного набора графиков 71р-хороших $р -момент,ов остановки.
Доказательство. Пусть X = ZI^S], где Z — ограниченная случайная величина. Тогда множество {°Х Ф РХ} содержится в объединении графиков последовательности моментов остановки, исчерпывающей скачки cadlag мартингала (E(ZHt)), и по теореме о монотонных классах для любого ограниченного измеримого процесса X множество {°Х фрХ} содержится в объединении графиков некоторой последовательности моментов остановки, а но теореме 1.1.5 является объединением счётного набора графиков 5Р-моментов остановки. Если X = l[s)00[) гДе S — момент остановки, то множество {X ф гаХ} содержится в графике 7£-впол-не недостижимой части S, откуда также с использованием теоремы о монотонных классах и теоремы 1.1.5 вытекает, что для любого ограниченного опционального процесса X множество {X ф гаХ}, а следовательно, для любого ограниченного измеримого X множество {°Х ф гаХ} является объединением графиков 7£р-вполне не-