Предельные теоремы для числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания

• Автор: Орлова, Нина Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 86 с.

Глава 1. Точные формулы и предельная теорема

1.1 Распределение общего числа пересечений полосы в случае геометрического распределения скачков
1.2 Распределение числа пересечений полосы траекторией простейшего случайного блуждания на отрезке [0, гг]

1.3 Предельная теорема

Глава 2. Полные асимптотические разложения для распределения числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания

2.1 Факторизационные представления производящих функций

2.2 Асимптотические представления производящих функций

2.3 Полные асимптотические разложения вероятностей

Глава 3. Полные асимптотические разложения распределения числа пересечений полосы траекториями полумарковских процессов

3.1 Теорема о связи между двумя двойными преобразованиями

3.2 Факторизационные представления

3.3 Асимптотические представления
3.4 Полные асимптотические разложения вероятностей

Заключение
Список литературы

Граничные задачи для различных классов случайных блужданий являются весьма важным разделом теории вероятностей. Это объясняется их многочисленными применениями в математической статистике, теории массового обслуживания, в управлении запасами, теории надежности. Теория граничных задач возникла первоначально из рассмотрения простейших схем блуждания, описываемых суммами независимых случайных величин. Термин "граничные задачи" понимается в том смысле, что речь идет об исследовании распределений разного вида функционалов, связанных с достижением границы некоторого множества траекториями случайного блуждания. Первые работы в этой области для блужданий в схеме Бернулли восходят еще к Лапласу. За последние 50 - 60 лет теория граничных задач развивалась преимущественно по следующим направлениям: расширение классов рассматриваемых процессов, увеличение числа изучаемых функционалов, уточнение полученных ранее асимптотических результатов, развитие новых методов исследования.
Заметим, что получить удобные в приложениях формулы для распределений изучаемых граничных функционалов в терминах характеристик исходного процесса удается далеко не всегда. В связи с этим особое внимание в общей теории граничных задач уделяется предельным теоремам, асимптотическим разложениям, оценкам для распределений изучаемых граничных функционалов. Развитие этой области исследований также идет по пути расширения класса изучаемых процессов и рассмотрения все более сложных граничных функционалов.
Среди аналитических методов исследования выделяется метод факторизации — он является достаточно универсальным и позволяет получать весьма глубокие результаты об асимптотике изучаемых распределений при выполнении условий краме-ровского типа. Впервые предложенный B.C. Королюком, этот метод получил развитие в работах А.А Боровкова, Б.А. Рогозина, Э.Л. Пресмана, A.A. Могульского и др. Первые результаты по факторизации сумм случайных величин на цепи Маркова принадлежат Г.Д. Миллеру, Дж. Кейлсону и Д. Вишарту, Э.Л. Пресману.
Диссертация посвящена изучению распределения числа пересечений прямолинейной полосы траекториями случайного блуждания, порожденного суммами независимых одинаково распределенных случайных величин (гл. 1-2) и случайного блуждания, заданного на конечной цепи Маркова (гл. 3). В отличие, скажем, от исследования траекторий стационарных гауссовских процессов, где изучению числа пересечений уровня уделено достаточно много внимания (см. [15]), для процессов с независимыми приращениями и для случайных блужданий распределение числа пересечений уровня и, тем более, полосы изучено мало. Известно неравенство, полученное Дж. Дубом [13], для среднего числа пересечений полосы последовательностью, образующей субмартингал. Для простейших схем блуждания, когда отсутствует эффект перескока через границу, формулы для распределения числа пересечений могут быть получены прямыми вероятностными вычислениями. Это сделано, например, в работе [28] для задачи о пересечениях нулевого уровня целочисленным блужданием с симметричным двухточечным распределением скачков, и в статье [1] для числа пересечений полосы подобным же блужданием (независимо от [1] несколькими годами раньше эта задача в более общей постановке была решена в дипломной работе автора диссертации). Для симметричных случайных блужданий без эффекта перескока (а также для симметричного винеровского процесса) распределение числа пересечений полосы с помощью метода зеркальных отражений легко сводится к известному распределению супремума траектории. Кстати, пользуясь точными формулами для распределения числа пересечений, можно получать и полные асимптотические разложения в условиях удаляющихся границ полосы. Для симметричного случайного блуждания, когда скачки принимают значения 0 и ±1, это проделано в дипломной работе Д.И. Сидорова (ММФ НГУ, 2005).
Переход к рассмотрению блужданий общего вида приводит к необходимости учитывать эффект перескока через границы, и это в конечном счете составляет основную трудность задачи. Факторизационный метод позволяет выразить распределение общего числа пересечений (в тех случаях, когда оно конечно) и производящую функцию числа пересечений за конечный промежуток времени в терминах суперпозиций некоторых операторов, связанных с однограничными задачами. Близкие по духу представления для распределения числа пересечений полосы для процессов с
+(2u — x2)~j= as i5 + (- — х2а3—p) t6 +
yj 71 О y/71
® Следовательно,
(26 - t2)2q? 1 (26 - x2)2x2afa2 1 , (,nr ч4 4l + 4x2a2
/(to) - T - 4 + (^2u - *2)
/(to)
/г*- 4 3 1 “b 3X2^2 /л- 2 2 2 2 ^ 2X2^2'N
*-(2и - x2) а{аг h (2и - x2) x2a1cx2 1 -j +
- (2ц ~ £ _ (2tt - X2)2X2Q?a2 1 + ^2u _ x ^4 1 + 4ж2<Д2
4 n 4
2 +

/л 4 з 1+3x2a2 , <2 2 2 2^ 2x2«2
-(2и - x2) a{a3 -1- (2и - x2) x2a2a2
Таким образом величины en№° еп^‘°) допускают разложения вида
exp{n/(fo)} = exp |_(2ц |2^— | ^l + ei-^ + e2~ +
exp{n/(
(26 — x2)2x2«i«2
61 ~ 4 ’
4 4(l + x2a2)2 + 2x2a2 tn„ ^ 3 l + 3x2a2 e2 = (2и - x2)4a?~ ^ (2и - x2)4o>3 g
. _ ,2 о о 21 2x2a2
+(2u - x2) xaa2 ,
(2u — x2)2x2a2a2 ei_ _ ,
/n %4 4(14- x2a2)2 + 2x2a2 , x4 з l + 3x2a2
e2 = (2и - x2) a- (2и - x2yafa3

, /п 2 2 2 2^" 2х2«2
+(2м - х2ух2ага2
Найдем разложение по степеням 1/^/п величин Яо, <9ь Я о, Яг- Для этого получим разложения

/о = 1 - х2а2 -= + -(26 - х2)2(а! - 2а3)а1 - + ...,
/п 4 п

/о = 1 - х2а2 -^= + -(2и - х2)2{а - 2а3)а1 - + ...,
/0-1/2 = 1 + + | (х^ - «1(26 - х2)2(а! - 2а3)) ^ + ...,