Остаточные эмпирические процессы в статистическом анализе гетероскедастических моделей

• Автор: Сорокин, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с.

1 МБ оценка для АВ.СН(1) модели

1.1 Асимптотическая нормальность МБ оценки

1.2 Робастность МБ оценки

1.3 Доказательство вспомогательных утверждений

2 Оценивание и проверка гипотезы размерности в А11СН(р) модели

2.1 Асимптотическая нормальность МБ и СМ оценок

2.2 Проверка гипотезы о размерности А11СН(р) модели

2.3 Доказательства теорем

2.3.1 Доказательство теоремы 2

2.3.2 Доказательство теоремы 2

3 Равномерная оценка коэффициента сильного перемешивания и максимума о.э.п. для АИСН(р) модели
3.1 Равномерная оценка коэффициента сильного перемешивания
для А11СН(р) модели
3.2 АиЬ для остаточного эмпирического процесса
3.3 Максимальное неравенство для остаточного эмпирического процесса общего вида
Список обозначений
Список литературы

Диссертация посвящена использованию остаточных эмпирических процессов для статистического анализа гетероскедастических моделей. Мы начнем введение с описания предмета исследования. Затем будет рассказано об истории и современном состоянии того, как остаточные эмпирические процессы применяются для анализа временных рядов. Далее будут кратко описаны полученные в работе результаты, и мы сравним их с уже известными в литературе.
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и списка используемой литературы, насчитывающего 79 наименований. Формулы, леммы и теоремы будут иметь номер, состоящий из двух чисел. Первое из них соответствует номеру главы, а второе - номеру формулы (леммы, теоремы) в данной главе. Формулы из введения будут нумероваться одним числом. Ссылки на работы других авторов нумеруются по алфавиту, согласно фамилии первого из них.
История гетероскедастических моделей.
Стохастические модели используются для моделирования финансовых данных на протяжении нескольких десятков лет. При этом наблюдения, как правило, состоят из цены некоторого актива или нескольких активов, подсчитанной в дискретные моменты времени. Считается, что поведение цен в будущем точно предсказать невозможно, поскольку они зависят от множества факторов различной природы, в совокупности неизвестных ни одному из участников рынка. Обычно для описания данных такого типа используются стохастические модели. Гетероскедастические модели занимают среди них важное место. Прежде чем перейти к их рассмотрению, вкратце напомним, какой тип моделей временных рядов, используемых для финансовых приложений, предшествовал им.
Одной из первых была модель геометрического броуновского движения, предложенная Эатиекоп [57] в 1950-х годах. Она состоит в следующем. Предполагается, что наблюдения за ценой актива происходят через равные промежутки времени, и цена в момент времени £ £ N выражается форму-

Pt = exp {aWt + 6}
(1)
где {И^Д-винеровский процесс на некотором вероятностном пространстве с фильтрацией, а и Ь - действительные параметры. При этом так называемые логарифмические приращения цены ("к^-ге^гпз")
являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими нормальное распределение (здесь и в дальнейшем мы будем иметь дело не с самим процессом цены, а именно с ее логарифмическими приращениями {yt}).
Дальнейшие исследования показали, что наблюдаемые временные ряды обладают некоторыми типичными свойствами (в англоязычной литературе "stylized facts"), которые не согласуются с предположениями геометрического броуновского движения и показывают, что некорректно считать логарифмические приращения цены ни одинаково распределенными, ни независимыми, ни нормальными случайными величинами. Мы рассмотрим три таких характерных особенности реальных данных.
Первая из них заключается в том, что маргинальное распределение yt имеет тяжелые хвосты и несимметрично. Это, очевидно, отвергает гипотезу нормальности. Второе наблюдение заключается в том, что волатильность, являющаяся константой для модели геометрического броуновского движения, на самом деле меняется со временем. Напомним определение волатильности. Пусть {yt} суть логарифмические приращения некоторого процесса цены {РД. Тогда волатильностью о называется случайная величина
Оказалось, что в реальных временных рядах можно выделить промежутки большой волатильности и маленькой волатильности, так что первые сменяют вторые, и наоборот. Наконец, третье наблюдение состоит в том, что логарифмические приращения цен являются хотя и некоррелированными,
yt := log(Pf) - log(Pc_1), t e Z
a :

= п_1/2^М4-1,0)Д4(0) < 4 - М-МЦе&бз) ^ *<}] <
< п~1/2'^2[{(р(у]_1,в^)+Ь/Н)1{£]{в^1) < х}-ср(у]_1,в])1{е](в]) < х{}} <
< 7г^ЛУ-1 + п_1/2Ь^[/{е/(^-+1) < жж}) - /(4(6) < ^}] • Доказательство (1.37) завершает оценка
Е{1{е](вя 1) < х1+х) - 1{еЩ) < гг*})
= Ев I
яш^ЫЛ’+О
51/2(у0,а)
£С|
4г-£1/2(уД АД ~б4
«1/2(?/о, а)
< вирд(у)Е
г)б!Й
^г+151/2(2/о. 6+1) “ 64 - (^1/2(Уо. - 64'

ч в1/2(ро ,а) у
< СЕ(хшз1/2($,вЯ1) -ж*Д/2(^,0Д) < с(2ВМ-1Ез11у1В^) + х - <у)) <
< С(2ВК-'Е(1 + КП + ЗВЛ^ ЁКГ).
Для доказательства (1.38) достаточно заметить, что при В —* оо
гг'111{х > В}[1Л%]{х,в))2дР{х) <Ь211{х > В}йР(х) -> ОЛ Прежде чем сформулировать вторую лемму, положим
<Р(х) := Е(р(у0 + (о, а)
С х-
?1/2(ур + 6ь а) 51/2(2/о,а)
-ЕС ж-
>1/2(Уо + 6»4 51/2(Уо, а)

+Ер(у0, а) Щх - 1/2(у0,а))-£С(ж-6$ 1/2(Уо,а))]-
Лемма 1.3. В условиях теоремы 1.3 существует 70 > 0, т.н. для любого 7 < 7о функция КЩ имеет единственную точку минимума в7, такую что в0 — а и
д'у

2Еч>°(у0,а)е(уо,а) (хд(х))2дР(х) / хд(х)<Г(х)дР(х).