Предельные теоремы и вероятностные неравенства для канонических U- и V-статистик от зависимых наблюдений

• Автор: Володько, Надежда Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 65 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических и~ и V-статистик от стационарно связанных наблюдений

§1. Основные ограничения и свойства рассматриваемой модели

§2. Формулировка основных результатов

§3. Доказательство основных результатов

3.1. Доказательство теоремы

3.2. Доказательство теоремы

3.3. Доказательство предложения

3.4. Доказательство предложения

ГЛАВА 2. Предельные теоремы для !7- и Г-статистик, построенных по выборкам из -зависимых стационарных последовательностей
§1. Введешге и основные результаты
§2. Доказательство основных результатов
2.1 Доказательство теоремы
2.2. Доказательство теоремы
2.3. Доказательство замечания
ГЛАВА 3. Экспоненциальные неравенства для распределений II- и V-статистик от зависимых наблюдений
§1. Введение и основные результаты
§2. Доказательство основных результатов
2.1. Доказательство теоремы
2.2. Доказательство теоремы
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию предельного поведения распределений нормированных канонических статистик Мизеса (так называемых К-статистик) и {/-статистик, построенных по выборкам стационарно связанных наблюдений с теми или иными условиями зависимости (главы 1 и 2). Кроме того, в главе 3 получены экспоненциальные неравенства для вероятностей уклонений рассматриваемых статистик с ограниченными ядрами в случае, когда выборочные наблюдения удовлетворяют условию -перемешивания.
При получении указанных результатов использовался единый подход, основанный на представлении ядер рассматриваемых статистик в виде специального кратного ряда. Предельные законы при этом описываются в виде бесконечных полилинейных форм от последовательности центрированных гауссовских случайных величин с известной ковариационной матрицей. В случае независимых наблюдений этот подход применялся неоднократно при изучении предельного поведения рассматриваемых статистик, начиная с работы Р. Мизеса [29], где изучались статистики второго порядка. Более общая ситуация была рассмотрена в статье X. Рубина и Р. Впталя [30]. Кроме того, в целом ряде работ (см., например, [13], [24]) дана иная интерпретация упомянутых предельных законов в виде кратных стохастических интегралов Винера - Ито.
Говоря о зависимых наблюдениях, следует упомянуть работу И. С. Борисова и А. А. Быстрова [3], в которой найден слабый предел распределений статистик Мизеса произвольного порядка от стационарно связанных наблюдений с условием ф-перемешивания. Предельный закон здесь также представлен в виде стохастического интеграла, который, правда, существенно отличается от классического кратного стохастического интеграла Винера - Ито.
Отметим также работы X. Делинга и М.С. Такку [20], [21] и [22], где исследовались Н-статистики от специальных зависимых наблюдений, представимых в виде некоторого детерминированного преобразования стационарно связанных гауссовских

случайных величин. В статье [21] сформулирован предельный закон для статистик, ядра которых имеют ограниченную полную вариацию. В работе [22] для статистик порядка 2 это требование ослаблено до условия “локально ограниченной полной вариации” ядра.
Кроме того, в случае зависимых наблюдений А. Н. Тихомировым в [10] и [11] подробно исследовалось предельное поведение одного частного случая статистик Ми-зеса второго порядка - скалярного квадрата нормированной суммы слабо зависимых случайных векторов в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Результаты первой главы диссертации описывают асимптотическое поведение распределений статистик, построенных по зависимым наблюдениям с условиями а- или (-перемешивания, которые не являются столь жесткими, как -перемешивание. С другой стороны, в приведенных в этой главе теоремах присутствуют дополнительные ограничения на ядро статистики, которых нет в работе [3]. Вид предельного закона, а также метод доказательства полученных результатов во многом аналогичны [30].
Перейдем теперь к описанию основных результатов диссертации. Прежде всего ~ введем необходимые обозначения и определения.
Определение 1. Пусть {X, Л — измеримое пространство с льерой р. Говорят, что льера р имеет счетный базис, если существует такая счетная система
21:= {А,,; п = 1, 2
измеримых подмножеств (счетный базис меры р), что для всякого М е Ли любого е > 0 найдется такое Ал е 21, что
р(МААк) < б.
Например, если X - сепарабельное метрическое пространство, а А - с-алгебра всех его борелевских подмножеств, то любая сг-конечная мера на Л будет иметь счетный базис.
Пусть Х, — стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин, заданных на вероятностном пространстве Р) и принимающих

Упорядочим элементы блока по возрастанию индексов. Совместное распределение элементов блока однозначно определяется взаимным расположением их индексов. Длина блока варьируется от 1 до т (в последнем случае элементы блока совпадают с полным набором аргументов ядра). Для блока длины к возможны (с£+ 1)к вариантов взаимного расположения индексов, если мы допускаем для них повторения, и йк, если нас интересуют только попарно различные. Таким образом, число всевозможных распределений блоков, которые уже нельзя разбить на меньшие независимые, конечно.
Заметим, что совместное распределение вектора наблюдений {Уд
Если вектор {Хд
Е/2(Хд
Если же й < т/2, будем требовать лишь конечность первого момента ядра:
Е|/(Уд
Стоит сразу заметить, что общее число таких векторов не превышает п8 и эквива-
лентно пв при п —* оо. Ввиду конечности мат.ожиданий в случае я < да/2 молено применить закон больших чисел для £-зависимых величин(в данном случае к молеет быть больше й). Если з < т/2, ясно, что
п-т/2£/( ЩДО (33)

при п —» оо. Если в = т/2,
Е/(Хд