Последовательные методы проверки статистических гипотез и обнаружения разладки

• Автор: Житлухин, Михаил Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Оптимальная остановка марковских процессов
§ 1.1. Основные определения из теории марковских процессов
§1.2. Постановка задачи об оптимальной остановке марковского
процесса. Существование решения
§ 1.3. Задачи с функционалами Майера и Лагранжа
§ 1.4. Интегральные уравнения для границ множеств остановки
Глава 2. Задачи последовательной проверки гипотез
§2.1. Стохастические системы с неизвестными параметрами
§ 2.2. Задача Чернова
§ 2.3. Задача Кифера-Вейса
Глава 3. Задачи скорейшего обнаружения разладки
§3.1. Стохастические системы с разладкой
§ 3.2. Сведение к задачам об оптимальной остановке для статистики Ширяева-Робертса
§ 3.3. Обнаружение разладки броуновского движения на отрезке
§ 3.4. Оптимальная остановка броуновского движения и геометрического броуновского движения с разладкой на отрезке
Приложение. Вспомогательные результаты стохастического анализа
§П.1. Формула Ито с локальным временем на кривых
§ П.2. Совместное распределение геометрического броуновского движения и его интеграла
§ П.З. Неравенства для броуновского движения
Список обозначений
Список литературы

Введение
1. Диссертация посвящена исследованиям в двух взаимосвязанных разделах статистического последовательного анализа — последовательной проверке гипотез и скорейшему обнаружению “разладки”.
Активное изучение последовательных методов математической статистики началось в 1940-50-х гг. В отличие от классических методов, где объем выборки заранее фиксирован, характерной особенностью последовательных методов является возможность выбирать момент прекращения наблюдений (объем выборки) в зависимости от наблюдаемых данных. Такая возможность во многих случаях обеспечивает выигрыш в среднем числе наблюдений по сравнению с методами с фиксированным объемом выборки при одинаковой вероятности ошибочных решений.
Первая группа задач, рассматриваемых в диссертации, относится к вопросам проверки гипотез о вероятностных характеристиках случайных процессов по результатам последовательного наблюдения за ними. Вторую группу задач составляют вопросы последовательного обнаружения моментов изменения вероятностных характеристик случайных процессов (моментов “разладки”). Совместное исследование двух данных групп задач обусловлено, прежде всего, схожестью методов их решений, основанных на сведении к задачам об оптимальной остановке для марковских процессов. В связи с этим существенную часть работы (первую главу) составляют вспомогательные результаты из теории оптимальной остановки, представляющие ценность и сами по себе.
В работе преимущественно применяется байесовский подход, предполагающий, что ненаблюдаемые параметры являются случайными величинами с известными функциями распределения. Существует также вариационный подход, который не предполагает наличия дополнительной априорной информации. Отметим, что эти два подхода тесно связаны, и в них применяются сходные вероятностно-статистические методы.

2. Математически рассматриваемые задачи формулируются следующим образом. В байесовской задаче о последовательной проверке гипотез предполагается, что на некотором вероятностном пространстве ($7, Р) задана ненаблюдаемая случайная величина д с известной функцией распределения С и наблюдаемый случайный процесс X = (Х^^о (или случайная последовательность X — (Хп)п^о)5 Для которого известны условные распределения Р“ — ЬаА^(Х | д = и). Таким образом, д влияет на структуру X, и, наблюдая за X, можно делать предположения об истинном значении д.
Рассматриваемая задача заключается в проверке гипотез Щ: д Е Мг, г = 1,..., N, по последовательному наблюдению за X, где Мг С К — некоторые фиксированные непересекающиеся множества. Каждая последовательная процедура проверки гипотез задается с помощью решающего правила (т, б), состоящего из момента остановки т фильтрации ^
= сг(Х3; 5 ^ 7), и Хф-измеримой функции с1, принимающей значения
1,...,N (или любые другие N различных значений). Момент т соответствует моменту прекращения наблюдения, а значение функции д соответствует принимаемой гипотезе в момент г. При этом “хорошие” решающие правила должны обладать как малым временем наблюдения, так и низкой частотой ошибочных решений.
Основополагающим результатом теории последовательной проверки гипотез является хорошо известный последовательный критерий отношения вероятностей, предложенный А. Вальдом [46] для задачи проверки двух простых гипотез Н: д = /д и Н%: д = Д2• Вводя процесс логарифмического отношения правдоподобия Z = (-£г)д>сь ГДе
= ^р-1 #?)
* <йР'-= | .??>'
критерий заключается в том, что следует останавливать наблюдения и принимать гипотезу Н.2, когда значение становится меньше некоторого уровня А, и гипотезу Н, когда значение Zt становится больше некоторого уров-
1 Предполагается, что вероятностные меры РМ1 и Рм- локально эквивалентны, т. е. для каждого 4^0 сужения мер Р''1 | и Ри | эквивалентны; тогда процесс Я корректно определен.

Т — £, то это так в силу определения функции а и того, что Хщ(ш) = а(£ + Та(со)); если Та(ш) = Т — £, то пользуемся тем, что У (Г, ж) = у(Т, X) — С?(Г, ж) для всех ж. Отсюда получаем
У{Ь,х) = С(£,ж), |ж|^а(£), (1.17)
V(t,x) = Е^;
G{t + Tg, Х^) + / L(t + s, Xs)ds
ds, x < a(t). (1.18)
В первом равенстве воспользовались формулой Ито: ЕxG(t + ts, Х^) — Ех fja JfG(t + s, Xs)ds = G(t, x), где учли, что математическое ожидание стохастического интеграла, входящего в формулу Ито, равно нулю, как следует из (1.9). Отсюда имеем V(t, x) ^ V(t, х) для всех t G [То, Т), x G S.
Предположим, что d(t) > a*(t) для некоторого t G [Т0,Т). Возьмем x = а(£) и рассмотрим момент остановки та- = inf{s ^ 0 : Xs = a*(i + s)}A {T — t). Тогда из (1.16), используя, что V(t,x) = G(t,x) и V(t + та*, ХГа<, ) ^ V(t + та-, ХГо, ) = G(t + Та-, XTat ), получаем
G(t,x) ^ Ех G(tта-,ХТа,)J (^L{t + s, Х5)1{|Т*С5| < a(t + s)}
-JzfG(£ + s,Xs)I{|Xs| >S(£ + s)})ds = G(t, x) + Ex / ° (T + JÊfG)(« + s, XS)I(|XS| < a(É + s))ds

+ EX Г J?G(t + s,Xs)I{Xs = a*{t + s)}ds,

где в равенстве применили формулу Ито. Однако первое математическое ожидание в правой части строго положительное, так как процесс Xs проводит положительное время (Рх-п.н.) в области между кривыми a(t),a*(t) и, следовательно, между a(t), h(t), где L + JXG строго положительно согласно определению функции h(t). Второе математическое ожидание равно нулю, так как мера множества {s : |XS| = a*(t + 5)} равна нулю (см. [38, Глава VI]). Полученное противоречие G(t,x) > G(t,x) означает, что a(t) ^ a*(t) для всех t G [О,T).
Предположим, a(t) < a*(t) для некоторого t G [То,Т) и возьмем х — a(t). Тогда V(t,x) — G(t,x) и V(t + та-, ХТа,) = G(t + та-, Хт<х,). Второе