Асимптотические разложения с явной оценкой констант для экспоненциальных моментов сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова, и их применения к предельным теоремам для моментов достижения

• Автор: Абадов, Закир Абдурахман оглы
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 156 c. : ил

Предельные теоремы составляют весьма обширную и наиболее существенную часть проблематики теории вероятностей.
Классической и наиболее хорошо изученной схемой являются предельные теоремы для сумм независимых случайных величин (с.в.). Подробные и исторические ссылки можно найти в монографиях [16] , [43].
Как показывают многочисленные исследования, распространение имеющихся результатов для независимых с.в.на случай зависимых с.в.представляет собой серьезную математическую проблему. При этом существенную роль играет вид зависимости. Истоки этой проблематики лежат в исследованиях А.А.Маркова, выполненных в начале И века.
Аналог классической интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа для однородных цепей приведен в работе А.А.Маркова [40] . Этот результат Марковым был установлен методом моментов. При этом используется метод производящих функций. По существу, условия Маркова для применимости интегральной предельной теоремы для однородных цепей оказались в некотором смысле, окончательными. Исследования последующих авторов в этом направлении в общих чертах отличаются лишь методом доказательства. Так, например, сочетая алгебраические методы с методом моментов, В.И.Романовский установил справедливость тех же результатов Маркова.
Г.Шульц [72] в 1936 г.при помощи разностных уравнений для моментов устанавливает центральную предельную теорему для однородных цепей Маркова.
Прямые методы для установления интегральной предельной теоремы были предложены Деблином в 1937 г.[ГО].
Метод характеристических функции для установления интегральной предельной теоремы был развит в работах В.И.Романовского С45] , О.Оническу и Г.Михок 1т.
Эргодические предельные теоремы и интегральная предельная теорема для сумм случайных величия, связанных в однородную цепь Маркова с конечным числом состояний, в общем виде изучены В.И.Романовским. Эти вопросы для цепей Маркова, у которых множество состояний составляет некоторый отрезок прямой, рассмотрены в монографии Т.А.Сарымсакова £46]. Многомерная локальная предельная теорема для случайного вектора, компонентами которого являются числа попаданий в состояния, доказана А.Н.Колмогоровым £26].
Кроме того, решалась задача об уточнении и асимптотическом разложении остаточного члена в предельных теоремах. Важность последней задачи состоит в том, что во всех практических применениях предельными теоремами пользуются в качестве приближенных формул при конечных значениях соответствующего параметра п Для того чтобы такое применение предельных теорем было вполне обосновано, они должны быть снабжены оценками скорости сходимости.

Как известно, параметр 4= ( п - число слагаемых) являетл/п

ся основным показателем скорости сходимости в предельных теоремах для распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и векторов. Асимптотические разложения остаточных членов по степеням как в одномерных, так и в многомерных предельных теоремах для однородных цепей Маркова с конечным числом состояний установлены С.Х.Сираждиновым [56] . В дальнейшем эти результаты были обобщены С.В.Нагаевым [41], М2] для цепей с произвольным множеством состояний, а В.А.Статулявичусом

[61] >[62]- на случай неоднородных цепей Маркова.
Наряду с традиционными предельными теоремами для суті с. в. значительный интерес представляет исследование предельных теорем для других функционалов, определенных на цепях Маркова, в том числе для моментов достижения труднодостижимых областей. Теоремы такого типа и связанные с ними теоремы об асимптотическом укрупнении марковских и полумарковских процессов изучались в работах И.В.Коваленко, В.С.Кородюка, затем в работах В.В.Анисимова, Д.С.Сильвестрова, А.Ф.Турбина и др. Здесь следует выделить две дополняющие друг друга постановки задачи:
а) Процесс пслумарковского типа фиксирован, область ^ зависит от параметра серии £ таким образом, что вероятность достижения процессом области на одном цикле полумарковской регенерации стремится к нулю при 6-»О
В работе [П] рассматривалась задача об изучении моментов достижения удаляющихся уровней для однородных цепей Маркова.
В дальнейшем путем использования метода, асимптотического фазового укрупнения в работах [зз]. и изучалось предельное распределение момента достижения удаляющегося уровня эргодическим счетным полумарковским процессом.
В работе [69] рассматривалась равномерно эргодическая цепь Маркова с произвольным фазовым пространством. Показана асимптотическая экспоненциальность распределения момента достижения удаляющейся области фазового про стране тва.
Аналогичная задача для эргодического дискретного случайного процесса полумаркобского типа рассмотрена в [53]»
В работах М - [зг] изучается предельное поведение моментов достижения "удаляющейся'* области фазового пространства для эргодической цепи Маркова с произвольным фазовым пространством.

Если обозначить через
Р^А) = $^)ре^ос), Г=бдс ,

то из (2,1) следует разложение для Р£(2,А) в следующем виде:

Р/2,А) = ^(А) + ^ ?! рЛа^Г+ • (2-3)
Г=*
Используя разложения (1.24) для Пе2, и (2.3), мы можем получить разложение для функционала А _ (2.). Для этого введем обо-

значения:
V4 ± / тт(г-5).м Г® ч тт^

= 2шА ь! <Пе Ф.Ре > - Л£ 'П£-Г”1’К' '

2 к к
ч..,«> - £ 2 < п(^ •
$=К+1 Г=ё-К

+ У [<П(Гф,ТЛСЬ)>+1 <пГ®9. гГ>
2,1%
+ <п7Ь)Ц),Т£К(^)>
Существование этих интегралов гарантирует оценка (1.25) и условие Ск •
Справедлива следующая
Лемма 2.1. Пусть выполняется условие и для некоторого к >2 условия , С . Тогда для всех Ъ , для коК *>