Стохастические задачи максимизации робастной полезности

• Автор: Морозов, Иван Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление
Список обозначений
Введение
ГЛАВА 1. Вспомогательные результаты
1.1 Общие сведения о пространствах Орлича
1.2 Свойства пространств Орлича по семейству мер, удовлетворяющему условию компактности
1.3 Примеры выполнения условия компактности
1.4 /-дивергенция функционалов на пространствах Орлича
1.5 /-дивергенция, связанная с функцией полезности
ГЛАВА 2. Расширение класса допустимых стратегий в задаче
максимизации робастной полезности
2.1 Постановка задачи и формулировка результатов
2.2 О решении в задаче максимизации робастной полезности
2.3 Доказательство результатов
ГЛАВА 3. Дифференцируемость целевой функции в задаче
максимизации робастной полезности
3.1 Основные результаты
3.2 Описание в двойственных терминах
3.3 Доказательство
Список литературы

Список обозначений
В настоящей работе используется следующая система обозначений. Нумерация определений, замечаний, утверждений, теорем, лемм и формул начинается заново в каждой главе, и перед каждым номером ставится номер соответствующей главы. Таким образом, формулы в главе 1 будут иметц номера (1.1), (1.2) и т.д. При этом различные типы утверждений имеют независимую нумерацию, например: теорема 1.1, теорема 1.2, лемма 1.1 и т.д.
Конец доказательства обозначается символом □ .
Ниже приводится список наиболее важных обозначений, используемых в работе. Для некоторых из них указана страница, на которой вводится данное обозначение.
const

LS) 22 Ьф(£) 22 /ї 38 и(х) 50 v(y)

равенство по определению константа
индикаторная функция: 1ц(сь) = 1, и> £ А и 1д(и») = 0, ш £ А индикаторная функция в смысле выпуклого анализа:
$?(/) = 0) / ^ & и £?(/) = +°°) / ^ математическое ожидание по мере Р плотность меры С) относительно меры Р пространство функций, интегрируемых по семейству мер пространство Орлича по семейству мер /-дивергенция на пространствах Орлича
целевая функция задачи максимизации робастной полезности целевая функция двойственной оптимизационной задачи
эффективная область функции /: dom / ;= {х: f(x) G R} сходимость относительно порядка на банаховой решетке множество реализуемых на финансовом рынке доходов множество доходов, допустимых при начальном капитале -,х множество разделяющих функционалов
т.е. можно воспользоваться теоремой Лебега о мажорируемой сходимости, в соответствии с которой
Ер4>{я<х) ~Д ¥>(1) <
а—»4-со
Следовательно, при а достаточно больших ЕрД(?а) < 1, откуда да Е Др и £ = смда+(Ер£—а) принадлежит линейной оболочке Др. Но поскольку любая случайная величина £ Е 1/ДР) может быть представлена как £ = Д — Д с неотрицательными Д и Д, то линейная оболочка Д^ совпадает со всем пространством 1ДР). □
Утверждение 1.6. Пусть ф := <р* € Аг • Тогда семейство Др удовлетворяет предположению 1.1.
Замечание 1.4 (с„м. теорему II.3.3 в [38]). В случае некоторых дополнительных предположений на <р условие ф Е Дг эквивалентно тому, что
Е Уг, т.е. для некоторой константы 1> при больших значениях х имеет место неравенство ср(х) ^ ^<р(£х).
Доказательство. Условия (1)-(ш) проверки не требуют. Для проверки условия (ш) зафиксируем г) Е Д(Д), так что Ердг] конечно для любой 9 Е Др, и воспользуемся предыдущей леммой, из которой следует, что математическое ожидание ЕрД конечно уже для любой £ Е 1>'(Р). С помощью предложения IV. 1.1 в [38] отсюда получаем, что г/ Е Д’(Р).
Применение неравенства Гельдера (1.3) для стандартных пространств Ор-лича (Ьг^(Р),Ь(р(Р)) дает для любого А Е Д
вир [ ijqdP = эир Ер|т7|1^д ^ ||ДЫ1? яиР К(я) ^ (С + 1)\г]1а\ф, С1-7)
деД, 1А деД,
поскольку Ер^(^) ^ ^ЕрДд) < ^ < 1.
Так как по условию ф Е А2, то, как было отмечено в замечании 1.2, Д(Р) — МДР). Применяя лемму 1.1, мы получаем, что если Р(А) —> О,