Некоторые задачи статистического вывода для конечных совокупностей

• Автор: Тимонина, Елена Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 158 c. : ил

Глава I. Точечное и интервальное оценивание для конечных

совокупностей, размер которых неизвестен

§ I.I. Обобщенная схема выбора и достаточная статистика

для нее

§ 1.2, Оптимальное оценивание параметрических функций

§ 1.3. Оценка максимального правдоподобия

§ 1.4. Линейное оценивание параметрических функций

§ 1.5. Доверительное оценивание размера совокупности

Глава II. Асимптотическая теория оценивания

§ 2.1. Статистические выводы, основанные на асимптотической нормальности линейных оценок

§ 2.2. Асимптотические статистические выводы ( продолжение )

§ 2.3. Асимптотически оптимальная оценка ( выбор без
возвращения )
§ 2.4. Асимптотически оптимальная оценка ( выбор с
возвращением )
§ 2.5. Эффективность оценивания размера совокупности
Глава III. Некоторые специальные задачи оценивания для конечных совокупностей
§ 3.1. Оценивание параметрических функций для конечной совокупности, состоящей из неизвестного числа
классов одинакового объема
§ 3.2. Оценивание вероятности появления нового элемента
при выборе из конечной совокупности
Литература
Приложение

В ряде прикладных задач, возникающих, например, в биологии, социологии, лингвистике, и связанных с выборочным обследованием конечных совокупностей, часто имеют дело с ситуацией, когда число элементов (объем) N исследуемой совокупности ЪС является априори либо неизвестной величиной, либо о нем известно лишь, что его значение находится в некоторых заданных пределах А/± £ //^
/V,. В этом случае естественно возникают задачи получения тех или иных статистических выводов (построение точечных оценок, расчет доверительных интервалов, проверка статистических гипотез) относительно как самого неизвестного параметра /V , так и произвольных параметрических функций т(А/) от него, на основе имеющейся статистической информации об 'Ц . Такая информация представляет собой обычно выборку элементов из ЪС » извлеченную по некоторому заданному стохастическому закону,и, естественно, решение соответствующих задач существенно зависит от типа этого закона. Чаще всего в приложениях имеют дело со схемами повторной и бесповторной выборки с фиксированным или случайным объемом. Достаточно общая схема выбора может быть описана следующим образом: из совокупности извлекается 3^,2 независимых выборок объемами . т, соответственно (т - пъалс ГП; ^ /V), каждая из которых получена по схеме простого случайного выбора без возвращения (любая из возможных комбинаций элементов
совокупности может быть извлечена с равной вероятностью). В дальнейшем такую схему будем для краткости обозначать символом 1^ (/2.)"
~ Г* (/2-; /п^) (здесь /г= - - общий
объем выборки) и называть обобщенной схемой выбора. Обозначим че-резчисло элементов совокупности, каждый из которых вошел ровно в % некоторых выборок, 0,1 1 , а через

" + “ число различных элементов совокупности в выборке.
Частным случаем схемы 1^Н) при (П±= = №^1, ■$ = П, ,
является классическая схема простой повторной выборки объема /Ъ , л/11
когда каждая из /V возможных комбинаций элементов совокупности может быть извлечена с равной вероятностью /V . Для этого случая можно представлять себе (и на практике это часто реализуется), что выборка формируется последовательно, в /I этапов, причем на каждом этапе из совокупности с равной вероятностью и независимо от предистории может быть извлечен любой из А/ ее элементов (объем выборки Ну может быть как фиксированным, так и случайным, определяемым некоторым правилом остановки). Далее такую схему будем обозначать кратко символом А(н) , а случайные величины, аналогичные введенным выше для схемы (н) , обозначим ~ ^ ~ ^ ^ ^ =^ '(^) •
Имеется большое число работ как математических, так и сугубо прикладного характера, посвященных задаче оценивания неизвестного размера конечной совокупности (их список только за последние несколько лет насчитывает несколько десятков названий), в которых рассматриваются те или иные статистические эксперименты (как укладывающиеся в описанные схемы выбора, так и весьма специфические), "высвечивающие" некоторое случайное подмножество элементов совокупности Ц . Не претендуя на исчерпывающую полноту изложения, дадим краткий обзор соответствующих результатов, ограничившись, в основном, работами, примыкающими к тематике диссертации.
Схема (/А . Данная схема выбора рассматривалась в работах [2, 12, 15, 19-22, 24-26, 28-30, 33, 34 ] . В [12, 15, 20-22,
25, 26, 28, 29, 33, 34] предполагается, что число испытаний (объем выборки) /I фиксирован, а в работах [2, 19, 24, 29, 30]

((2-2)
и X биномиальная случайная величина с параметрами -3 и р . При этом сходимость к предельному закону равномерна
по параметру р .
Из этого общего утверждения вытекает, в частности, асимптотическая нормальность определенной равенством (1.21) линейной
несмещенной оценки параметра р
Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1 статистика р^
асимптотически нормальна сУГл ■ фи этом
сходимость к предельному закону равномерна по параметру р. Доказательство. Учитывая, что =
’ Ш8ем
Ц(ъ) и формулу (Х.20), получим, что в данном слуДалее, используя равенства = (р)р 1(р). J (р)г = (р) +

(1-£)(1-3) Л „ Ш) :
С.),»'?

_ _±_
у 1
Теорема доказана.
Введем класс 'Р параметрических функций 'Т(р) , удовлетворяющих условиям: ^(р) непрерывно дифференцирума и х(р)40 при ре (о, У) , и рассмотрим задачу оценивания про-