Об уравнениях фильтрации многомерного диффузионного процесса (растущие коэффициенты)

• Автор: Пуртухия, Омари Гришаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси, Москва
• Количество страниц: 147 c. : ил

ГЛАВА I. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ИТО ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ I. Введение

§ 2. Обозначения, определения, предположения,

основные результаты

§ 3. Задача Коши для $ -параболических уравнений

Ито второго порядка

§ 4. Задача Коши для параболических уравнений Ито

второго порядка

§ 5. Контрпример

Глава II. ОБ УРАВНЕНИЯХ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОМЕРНОГО

ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА (РАСТУЩИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ)

§ I. Проблема и основные результаты
§ 2. О представлении решения задачи Коши
§ 3. Об условных распределениях ^ -невырожденных
диффузионных процессов
§ 4. Прямые уравнения фильтрации для вырождающихся
диффузионных процессов
Глава III. О ПРОБЛЕМЕ ОБНОВЛЕНИЯ
§ I. Постановка задачи. Основной результат
§ 2. Вспомогательные утверждения
§3.0 совпадении <о -алгебр в задаче фильтрации
диффузионных процессов
ДОБАВЛЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Одной из важных задач статистики случайных процессов, имеющей многочисленные практические применения, является задача фильтрации: наблюдается процесс %(*) - Х(€) + ? (< ),
1 е [°>Т] , Т < со , представляющий из себя сумму "полезного сигнала" ЭС(1) и "шума" ^(1) . Требуется отделить "шум" от "сигнала", т.е. для некоторого "6е[о,т] нужно найти "наилучшее приближение" Х(-{) вида ха) ~ Го,*])
Например, если х(1) описывает фактические координаты движущегося объекта по результатам радиолокационного наблюдения, то в этом случае "шум" г?**) описывает ошибку измерения.
Точная постановка задачи выглядит следующим образом. На некотором вероятном пространстве (^2,9', Р) задан двухкомпонентный процесс ( х, у) = £(х (0,^(0), ±о| , у которого может наблюдаться лишь вторая компонента 1* О . Требуется
найти наилучшую в среднем квадратичном оценку ^ (X Н)) , где
^ - известная измеримая функция, по наблюдениям за траекторией компоненты у до момента времени £ . Иными словами, эту
оценку следует искать в виде функционала от траекторий компоненты у до момента времени £ .
Хорошо известно, что если £ $г(хш)< <*э , то такой
оценкой является условное математическое ожидание ^(хш) относительно (э -алгебры, порожденной значениями у до момента времени £ — Е [ ^ (хс-и)I %] , Проблема фильтрации заключается в вычислении этого условного математического ожидания.
Первые фундаментальные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А.Н.Колмогоровым [I]

и Н.Винером [2]. При широких предположениях проблема фильтрации эквивалентна задаче отыскания условного распределения х(±) ,
{>0 Р{)6 • / . Наиболее общие результаты в этом
направлении, для марковских процессов, получены в работах [3], [4]. В частности, в работе [3], где предполагалось, что #(*)) - двумерный диффузионный процесс, доказано, что условная мера Р^ха)е- ( %-с , О £-с £ ^ } имеет плотность ЛГ ^(х) и эта плотность достаточно "гладкая” по ос , а также выведено стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных для апостериорной плотности (х): (*) . Это уравнение
называют обычно уравнением фильтрации. Один из основных результатов этой книги, состоит в том, что решение проблемы фильтрации для процессов, описываемых уравнениями Ито, эквивалентно решению уравнения фильтрации.
Далее, Н.В.Крыловым и Б.Л.Розовским в работе [5] методами, отличными от используемых в [3], получены аналогичные утверждения ДЛЯ общего многомерного диффузионного процесса (Х'З) при слабых предположениях о гладкости коэффициентов этого процесса. Аналогичная ситуация рассматривается в книге [9]. Однако, в отличие от [3], где гладкость понималась как гладкость в С"- и рассматривалось классическое решение уравнения фильтрации, в работах [5], [9] рассматриваются аналитические свойства условной плотности прежде всего в пространствах Соболева, а фильтрационное уравнение (см. уравнение (0.3)) понимается в обобщенном смысле (см. определение 1.2.2).
В работе [5] (см. также [9] ) рассматривается двухкомпонентный процесс , точнее (4'+Лг) - мерный диффузионный процесс, удовлетворяющий следующей системе сто-

с: Ч
Iг->счэ 4 I £
1®,Г1 (3.18)
-ик С.. 1 = о.
С другой стороны, очевидно, что ТлЛ есть обобщенное решение уравнения
(Ла- г [ (а'1й1); * Съ* + слСГ + 1 и>Л *
+ [ Т*л~ * г^а"- + ?! 1«)«(Л>
с начальным условием хи'( о) - .
Отсюда, из (3.18) и (2.9), немедленно вытекает (3.17).
Ниже из теоремы 2.1 будет выведено важное следствие (теорема 2.2), показывающее, что при определенной гладкости данных
задачи обобщенное решение превращается в классическое, т.е. удо2/ <Л
влетворяющее (2.4) в С (К ) . Для этой цели предварительно приведем следующий вспомогательный результат.
Леша I. Пусть (9.21)“ измеримое пространство, а т-г-измеримое отображение в гУ^,и , р;»| , причем при
некотором гг в ]НГ8 (о} . Тогда существует функция у : 5 *Я0* —* ^ , обладающая следующими свойствами:
а) Т — измерима;
б) |(!,-)гсУ)пур"’У),» хУгУт(*.-)«с((й'|)1
1)гик и £ Н^ТС^И ,
1гик ° ^ > "к.р.ц,