Вероятности больших уклонений асимптотически однородных в пространстве эргодических цепей Маркова

• Автор: Коршунов, Дмитрий Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 271 с.

Глава I. Предельные теоремы для общих цепей Маркова невозвратного типа

§ 1. Предварительные замечания

§ 2. Утверждения типа усиленного закона больших чисел для функции от цепи Маркова

§ 3. Изменение во времени значения характеристического функционала цепи Маркова

§ 4. Центральная предельная теорема для цепи Маркова со значениями в евклидовом пространстве
§ 5. Локальная оценка для распределения цепи Маркова со значениями в евклидовом пространстве
§ 6. Локальная центральная предельная теорема в решётчатом случае 39 § 7. Локальная центральная предельная теорема в нерешётчатом
случае

Глава II. Вероятности больших уклонений в крамеровском случае

§ 8. Асимптотика супремума случайного блуждания

§ 9. Большие уклонения асимптотически однородных цепей

§ 10. Доказательство теорем 10 и
§ 11. Оценка второго члена асимптотики п(х) в крамеровском случае 63 § 12. Вероятности больших уклонений сумм случайных величин ... 66 § 13. Принцип больших уклонений для асимптотически однородной
цепи
§ 14. Точная асимптотика 7гп(х) для частично однородной цепи
§ 15. Осциллирующее случайное блуждание
§ 16. Марковская эволюция масс
§ 17. Локальная теорема восстановления для невозвратной цепи Маркова
§ 18. Некоторые предварительные оценки распределения марковской
эволюции масс
§ 19. Аналог центральной предельной теоремы для марковской эволюции масс
§ 20. Вероятности больших уклонений асимптотически однородной
цепи Маркова
§ 21. Завершение доказательства теоремы
§ 22. Решётчатый случай
§ 23. О положительности постоянного множителя с в теореме 19 . . . 132 § 24. О необходимости условия интегрируемости скорости сближения распределения скачка с предельным
Глава III. Вероятности больших уклонений в субэкспоненциаль-ном случае
§ 25. Асимптотика супремума случайного блуждания
§ 26. Асимптотика хвоста супремума случайного блуждания когда
среднее скачков не является конечным
§ 27. Асимптотики и оценки для первой убывающей лестничной высоты в случае бесконечного среднего

§ 28. Асимптотики и оценки для первой возрастающей лестничной
высоты в случае бесконечного среднего
§ 29. Асимптотики и оценки для хвоста распределения супремума . . 154 § 30. Достаточные условия субэкспоненциальности распределения интегральнго взвешанного хвоста
§ 31. Асимптотика распределения сумм случайных величин с локально субэкспоненциальным распределением
§ 32. Д-Субэкспоненциальные распределения

§ 33. Распределения с субэкспоненциальными плотностями
§ 34. Достаточные условия Д-субэкспоненциальности и субэкспоненциальности плотностей
§ 35. Некоторые приложения локальных асимптотик
§ 36. Функция восстановления и основная теорема восстановления . . 190 § 37. Равномерная по времени асимптотика хвостов частичных максимумов сумм
„ § 38. Оценка снизу для вероятностей больших уклонений максимума
сумм
§ 39. Некоторые свойства распределений класса У8ц
§ 40. Оценка сверху для хвоста распределения первой до момента
времени п неотрицательной суммы
§ 41. Оценка сверху для вероятностей больших уклонений максимума сумм
§ 42. Достационарные распределения цепей Маркова в субэкспоненциальном случае
§ 43. Оценка снизу вероятностей больших уклонений для достационарной цепи
§ 44. Оценки сверху вероятностей больших уклонений для достационарных и стационарных цепей

Предполагаем, что Хп — эргодическая Харрисова цепь, имеющая единственное инвариантное распределение п. Тогда распределение Хп сходится при п —> оо к 7Г в метрике полной вариации, т. е. выполнено условие (1). Ввиду этого обстоятельства семейство распределений Хп относительно компактно, т. е.
supP{X„ > х} —> 0 при х —* оо. (51)
71^0
Как отмечалось во введении, простейшим примером цепи Маркова описанного типа является случайное блуждание Wn с задержкой в нуле (называемое в [87, 89] однородной в пространстве цепью Маркова), задаваемое рекуррентным равенством
Wn+1 = (Wn+ £„)+,
где £о> £i, ... — суть независимые копии случайной величины £. Во введении же отмечалось, что распределение цепи Wn с нулевым начальным условием Wo = 0 совпадает с распределением Мп, т. е. справедливо равенство (5). Поэтому стационарное распределение Wn совпадает с распределением супремума случайного блуждания, описанном в предыдущем параграфе.
Достационарные распределения Wn в случае существования абсолютно непрерывной компоненты у распределения £ хорошо изучены Боровковым в работе [5]. Теоремы 7-11 этой работы дают асимптотические разложения
для вероятности Р{ max Sk > х, S„ ^ х — у} в широких зонах изменения 0^fc значений п, х и у.
Отметим также интересный подход Добрушина и Печерского [19] к доказательству принципа больших уклонений через исследование вероятностей больших уклонений процессов с независимыми приращениями на бесконечном интервале.
В настоящей диссертации мы демонстрируем три различных подхода, с помощью которых можно переносить результаты для случайного блуждания