Представление субмартингалов в виде функций монотонных случайных процессов

• Автор: Кашаева, Светлана Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

С.Ю. Кашаева

Содержание

Часто встречающиеся обозначения

Введение
1 Представление неотрицательного субмартингала в виде условного математического ожидания возрастающего процесса

2 Теорема Дуба-Мейера для неотрицательных субмартингалов

3 Представление субмартингала в виде условного математического ожидания возрастающего процесса

4 Общая теорема Дуба-Мейера

5 Обратные стохастические дифференциальные уравнения

6 Один класс обратных стохастических дифференциальных уравнений

Заключение
Литература

С.Ю. Катаева
Обозначения
(П. X, Р) вероятностное пространство;
Р{А} вероятность события А;
индикаторная функция множества А
Ас дополнение событию А, т. с. Ас = А;
ЕХ математическое ожидание случайной величины X;
Е(Х|£) условное математическое ожидание случайной величины X относительно а-алгебры <3
!Ы множество натуральных чисел;
Р множество действительных чисел;
Р+ множество неотрицательных чисел.

С.Ю. Катаева
Введение
Актуальность темы и степень ее разработанности. Теория мартингалов составляет важное современное направление в теории вероятностей. Несмотря на то, что теория мартингалов является одним из наиболее изученных разделов теории вероятностей или, точнее сказать, теории случайных процессов, интенсивные исследования продолжаются по сей день. В частности, за последнее десятилетие были опубликованы новые более простые доказательства ([3], [4], [7], [9], [22], [24], [26], [29], [32], [44]) ряда глубоких утверждений, в том числе, классической теоремы Дуба-Мсйера ([15], [37], [38]) о разложении субмартингала. Такое внимание к теореме Дуба-Мейсра не является случайным, так как она является необходимым звеном при построении стохастического интеграла и играет важную роль в других разделах стохастического анализа.
Иной подход к исследованию субмартингалов содержится в статье [49] М. Ю. Свсрчковаи С. Н. Смирнова При весьма ограничительных условиях они доказали, что субмартингал можно представить в виде условного математического ожидания от возрастающего случайного процесса. Н. В. Крылов [29] распространил доказательство Свсрчкова-Смирновна на неотрицательные субмартингалы. Следует сказать, что указанные представления можно построить с помощью теоремы Дуба-Мейсра о разложении субмар-тинглов в виде суммы мартингала и возрастающего случайного процесса. Однако такое доказательство нельзя признать рациональным, так как доказательство теоремы Дуба-Мейсра значительно сложнее доказательства упомянутого представления субмартингала. Предпочтительней поступать прямо наоборот, как показано в упомянутой статье [29] Н. В. Крылова.
Представление субмартингала в виде условного математического ожи-

С.Ю. Катаева
сходимости, согласно которой
/•< 2"
Е / Zu_diu = lim - Etn,,_,))•
Л fc=
По теореме 1.2 и по известным свойствам условных математических ожиданий мы получим
Е- ^J) = EE^^J^J - ЕЕ(^_1_Д„,,_1|Л„Л_1))
= E(Z^_1_E(Etn,J^„,J) -
= E(Zt(ifc_1_At„,J - E(Zw_1_At„,fc_1)
= E(Zw_(Xfri,t-Xt„i)sJ).
Выше было доказано, что случайный процесс М = {Ми, и ^ 0}, Мц = Хи — Л„, является F-мартингалом. Поэтому выполняется равенство E(Xtnfc — xt„,k-i^tn,k-i) = НАщк - п-в- и> следовательно,
E(Zt(,,_1_(Xt„ifc - XW_J) = E((Z4fc.1_E(Xw - X^JX^.J)

В результате мы получим
rt 2"
f Zu„dt,u — lim ^ ] Ztr k_l-(E,tr k Etn*.,)
/п 72,—ЮО Z^
271 £
= lim X]Zf -(At - At ) = E f zu-n_>°°Jo

Чтобы доказать (2.2) достаточно убедиться, что
ft ft
Е [ гиЖи = Е / ХД4Ц. (2.3)
Jo Jo
Нетрудно доказать ([33], теорема 3.10.4 ) равенство
Е(ZtAt) = Е / ZU