Условные квантили многомерных распределений и их асимптотические свойства

• Автор: Кнутова, Елена Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 135 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Многомерные распределения вероятностей

1.1. Эллиптически контурированные распределения и симметрические распределения. Теорема Шенберга. Теорема Де Финетти

1.2. Представление Шенберга для распределения Стьюдента

1.3. Условные функции распределения

1.3.1. Условные функции распределения Гаусса

1.3.2. Условные функции распределения Стьюдента и Коши (как частного случая)

1.3.3. Представление Шенберга условных распределений Стьюдента

1.3.4. Условные функции устойчивого эллиптически контурированного распределения с показателем а = |
1.3.5. Представление Шенберга характеристической функции устойчивого эллиптически контурированного распределения с показателем а = | ... 41 Глава 2. Условные квантили конечномерных распределений и свойство воспроизводимости
2.1. Примеры вычисления условных квантилей
(конечномерный случай)
2.1.1. Условные квантили рдспфёделрния Гаусса
2.1.2. Условные квантили распределения Стьюдента и Коши (как частного случая)
2.2. Свойство воспроизводимости условных квантилей
2.2.1. Воспроизводимость условных квантилей распределения Гаусса
2.2.2. Воспроизводимость условных квантилей распределения Стьюдента
2.2.3. Воспроизводимость условных квантилей распределения Коши
2.3. Примеры распределений, условные квантили которых не обладают свойством воспроизводимости
2.3.1. Смесь гауссовских распределений
2.3.2. Эллиптически контурированное распределение
2.4. Сохранение свойства воспроизводимости при покоординатном преобразовании
2.5. Нахождение условных квантилей по условным квантилям меньшей размерности
Глава 3. Асимптотические свойства условных распределений и условные квантили бесконечномерных распределений
3.1. Асимптотические свойства условных квантилей устойчивого сферичес-
ки симметричного распределения с показателем а = |
3.2. Асимптотические свойства условных квантилей стьюдентовского распределения
3.3. Логарифмические производные и логарифмические градиенты меры Стьюдента на гильбертовом пространстве
3.4. Асимптотические свойства условных квантилей для одного класса симметрических распределений на пространстве М°°
3.5. Усиленный закон больших чисел для схемы серий семейств условных стыодентовских распределений
Литература

Введение
Данная работа посвящена изучению условных квантилей некоторых эллиптически контурированных и симметрических распределений вероятностей. Кроме того, исследуются асимптотические свойства условных квантилей в случае, когда число переменных условных функций распределения стремится к бесконечности.
Пусть £ = (£1,.. .,?лг)- случайный вектор, .Рц, ^ хк, ,..,хц)~
условная функция распределения случайной величины по случайным величинам ц1, •••,?№ (знак ~ над элементом означает пропуск этого эле-
мента) .
Рассмотрим условные квантили д?,, { м(х1, определяемые
уравнениями:
%.Х.лг(9!°1..А,.йг(а:1>...ж;, ...,хц) = Р'г1.Л..м{х*Д
Интерес к изучению свойств условных квантилей многомерных распределений растет в связи с их использованием в математической статистике.
Пусть из генеральной совокупности (Хх,..., Х&, У) с неизвестным многомерным законом распределения извлечена некоторая выборка. Природа зависимости У от (Хх,..., X*) полностью ясна только если мы знаем, как меняется условное распределение У при заданных значениях Хх = Х,..., Хк = Хк в зависимости от изменения (х, ... ,Хк)-
Один из подходов состоит в изучении функциональной зависимости между условными моментами У при заданных значениях Хх = х,..., Хк = Хк и (а?х,..., Хк)- Частный случай, когда изучается поведение только условного математического ожидания У, известен в статистической литературе как регрессионный анализ. Классические методы регрессионного анализа основаны на предположении о том, что условное математическое ожидание ^{У|Хх = жх, • • • > X*; — есть линейная функция от х,..., ж*. Махалано-бис П. [59], Партасарати К. и Бхаттачария П. [61] предложили некоторые методы регрессионного анализа, которые не предполагают такой линейности.
Второй подход заключается в исследовании функциональной зависимости между квантилями условного распределения У при заданных значениях Хх = Х,, Хк = Хк и (жх, •.., Хк)- В рамках этого направления возникает проблема статистического оценивания условных квантилей. Различные способы оценивания условных квантилей в моделях непараметрической регрессии, освещены в обзорной статье [62].
Отметим, что в данной диссертационной работе не рассматриваются задачи статистического оценивания условных квантилей, а также возможнос-

Условная плотность:
/т|1...г...т...]у(‘ст|3'1> •••> Хг,
,Хы) =

_ г(Д^) /ае^Г/)(г,т|г,т)
г(«^а)г(1) у ае1(Г^1)(г|г)
[1 + | < [(Т^г)(г, т[г,то))"1! ,§ >] [1 + 1 < [{ТЦ1){Щ-% х >]

<1еЬ(Тм1)(г, т|г, т)
я(з) V <ЭДх)да
[1 + < [(Т^1)^,ттг|г,то)]"1!,! >] 2~
[1 + < >]^~
Тогда условная функция распределения имеет вид:
—! ■£*? ®т) •••? Я'.Л/’) =

J 2-1) •••> •••? Х}ч)сИ —

= в[5НЗЩ • ■[! + !< [(Т^т^то)]"1!,! >]'“** х

в X