Тяжелые хвосты, экстремумы и кластеры линейных стохастических рекуррентных последовательностей

• Автор: Голдаева, Анна Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с. : ил.

Содержание

Введение

Глава 1. Основные свойства индексов

1.1. Основная теорема и свойства сравнения индексов

1.2. Броуновские смеси

1.3. Примеры

1.4. Использование процессов с непрерывным временем

Глава 2. Границы экстремального индекса для броуновских смесей

2.1. Первая равномерная верхняя граница

2.2. Однородность экстремального индекса

2.3. Границы экстремального индекса, зависящие от распределения
2.4. Случай логнормального распределения
2.5. Вторая равномерная верхняя граница
Глава 3. Теорема о непрерывности и точные результаты
3.1. Теорема о непрерывности
3.2. Случай троичного распределения
3.3. Случай обобщенного лапласовского распределения
Глава 4. Индексы некоторых многомерных последовательностей
4.1. Случай последовательностей с различными хвостовыми индексами
4.2. Случай независимых последовательностей с равными хвостовыми
индексами
4.3. Экстремальный индекс при переходе к собственному базису
4.4. Наблюдения многомерного процесса с непрерывным временем
Список литературы

Введение
В последние десятилетия прикладная теория вероятностей и статистика нередко сталкиваются с тем, что нормальное распределение не является хорошей моделью для описания многих явлений в природе, технике и экономике. Как показал опыт, такие явления все чаще требуют рассмотрения так называемых «тяжелых хвостов», которые делают более вероятными большие значения некоторых величин, по сравнению с гауссовской моделью. Более того, структура зависимостей случайных величии не характерна для гауссовских моделей. Например, для экстремальных событий, таких как превышения высокого уровня, характерна кластерность. Т.е. они имеют тенденцию происходить не по одному, а группами — кластерами [17, гл.8]. В своей книге [6] Мандельброт в этой связи вспоминает две библейские истории: историю Ноя — всемирный потоп — и историю Иосифа, предсказавшего семь урожайных, а затем семь неурожайных лет подряд. В первой истории важно указание на то, что возможны такие наводнения, которые кажутся невероятными с общепринятой точки зрения, а во второй — что дождливые и засушливые годы имеют тенденцию образовывать группы. Мандельброт даже предложил для подобных явлений особые термины: эффект Ноя и эффект Иосифа.
Простейшей моделью, в которой наблюдаются эти эффекты, является линейное стохастическое реккурентное уравнение
Уп = АпУп-1 + Вп, п > 1, Уо>0, (1)
где (Ап, Вп), п > 1, — независимые одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.
Стационарные процессы вида (1) подробно изучались в [23]. При некоторых дополнительных условиях такие процессы обладают двумя важными свойствами. Во-первых, их стационарное распределение имеет степенной

хвост, т.е. существуют постоянные с, к > 0, такие, что Р(У„ > х) ~ сх~к при х —> оо, а во-вторых, максимум Мп = тах{У1,..., Уп} при п —>■ оо растет асимптотически, как максимум [Оп] независимых случайных величин с тем же распределением, где 0 е (0,1) называется экстремальным индексом процесса Уп. Средний размер кластера при этом оказывается равным 1/в > 1.
Явление кластеризации также возникает и хорошо изучено в А11СН-процессах и АКМА-процессах со степенными хвостами инноваций, имеющих широкое применение в финансовой математике и эконометрике [17, гл.8].
В диссертации рассматриваются случаи, когда Ап могут принимать значения, большие и меньшие единицы. Случай Ап < 1 п.п. рассматривался Лебедевым в [3,4], в этом случае наличие тяжелых хвостов и кластеров зависит от распределения Вп.
В литературе также рассматривался более общий случай, когда Ап и Вп могут принимать отрицательные значения. Кроме того, расссматривалось многомерное векторно-матричное обобщение уравнения (1), которому в данной диссертации посвящена глава 4.
Заметим, что уравнение (1) применимо во многих областях экономики, техники, страхования, а также для описания некоторых природных явлений.
В общем случае уравнение (1) может описывать динамику некоторой системы, подверженной случайным возмущениям. Если бы коэффициенты Ап были постоянны и равны А, то система была бы устойчивой при 0 < А < 1 и неустойчивой при Л > 1. Однако в нашем случае система "осциллирует" между этими двумя состояниями, проходя через периоды устойчивости и неустойчивости случайным образом.
В финансовой математике уравнение (1) может описывать динамику некоторого денежного фонда [17, гл.8], куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Вп), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами А„), причем учитываются как доходы, так и расходы. Однако стацио-

Глава
Границы экстремального индекса для броуновских смесей
2.1. Первая равномерная верхняя граница
В силу замечания 1.4.1 любой процесс Yn, у которого распределение Лп представляет собой геометрическую броуновскую смесь, без ограничения общности можно считать последовательностью наблюдений процесса с непрерывным временем.
Рассмотрим случайный процесс (Х4)4>о, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению (1.9). Рассмотрим также процесс Yn = ХТп, тп = YZ*1П > 1, Ai, Аг,... — независимые, неотрицательные, одинаково распределенные случайные величины, не зависящие от процесса W, с ЕД“й+1 < схз.
Обозначим М(Л = max[o;t]Xs, = max^^y У*,.
Чтобы найти границу для в, применим метод, который использовался в [27]. Для стохастического дифференциального уравнения (1.9) можно ввести масштабную функцию s(x) и меру скорости т{х). Масштабная функция определяется следующим равенством:
гх / fv с — d-t s(x) = J exp (-2 J -~2^2 dtj dy, X > 0, (2.1)
откуда следует, что
Л (х с — d-t , А 2с 2с 1Л 2d
s (х) = ехр ^—2 ^ j- dtj = exp + -j • -J ■ хо*, x > 0. (2.2)
Мера скорости т процесса, заданного уравнением (1.9), абсолютно непрерывна и определена своей лебеговой плотностью
т'{х) = 22 х > 0. (2.3)
azxAs (х)