Предельные теоремы для стохастических решений уравнения Бюргерса

• Автор: Бахтин, Юрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Ассоциированность и случайные меры. Моментные и максимальные неравенства для случайных полей
1.1 Ассоциированность и случайные меры
1.2 Максимальные неравенства
1.3 Моментные неравенства для сумм
1.4 Момен тные оценки для интегралов по случайным мерам
Глава 2. Функциональная центральная предельная теорема для решений многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными
2.1 ЦПТ для конечномерных распределений преобразованных решений уравнения Бюргерса
2.2 Одномерная ФЦПТ для случайных решений уравнен им Бюргерса
2.3 ФЦПТ для параболически масштабированных решений
Глава 3. Закон повторного логарифма для решения уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.
3.1 ЗПЛ для решения уравнения Бюргерса с начальными условиями, заданными дробовым шумом с нулевым р ад иу со м в за и мод ей с тв ия •3.2 ЗПЛ для процесса V(t)
3.3 УЗБЧ для процесса S(t)
Список литературы

Введение
Среди задач, находящихся на стыке нескольких областей математики и физики, одна из наиболее интересных и интенсивно изучаемых в последнее время — турбулентность Бюргерса. Многочисленные исследования как в физической, так и в математической литературе посвящены уравнению Бюргерса и родственным ему системам (см., например, монографию [981 и библиографию в ней).
Говоря о многомерном уравнении Бюргерса, имеют в виду следующую задачу Коши:

щт + ('"■ т
ДО,®) =аг>0(а>) = -УД(х), (*)
(к®) е!+х жа,у(г,х) е
где х > 0 параметр вязкости, Д — оператор Лапласа, Х7х — градиент (по переменной х). Решение ищется в классе потенциальных полей гД, х) = У.,.Ф(К ж).
Это уравнение и его аналоги описывают эволюцию поля скоростей для многих нелинейных диссипативных физических явлений различной природы — интенсивных акустических, оптических волн, гидродинамических потоков частиц и др. Многочисленные примеры явлений, описываемых уравнениями типа уравнения Бюргерса, приведены в монографии [15].
Уравнение Бюргерса играет центральную роль в описании возникновения во Вселенной крупномасштабных мозаичных структур типа Вороного. Эти структуры были обнаружены сравнительно недавно благодаря данным о распределении материи во Вселенной, полученным с помощью измерений красного смещения. Гидродинамическая теория их возникновения. использующая уравнение Бюргерса, развита Я. Б. Зельдовичем и его школой (см. [15, 90, 98)).
Одномерная версия уравнения (1) впервые, видимо, рассматривалась X. Бейтменом ([40]) в 1915 году, но заслуженно носит имя Дж. Бюргерса, который дал основы теории этого уравнения (см. его монографию [52]).

На поведение решения влияют два основных механизма, заложенных в уравнении: нелинейность, выраженная квадратичным членом (н, Vх)у, и диссипация, возникающая благодаря наличию вязкости, т.е. гидродинамического трения, соответствующего многочисленным микроскопическим столкновениям частиц. Нелинейность влечет возникновение структур типа ударных волн, диссипация же сглаживает эти ударные волны и тем самым действует на поле скоростей регуляризующим образом.
Эти два противоборствующих эффекта в основном и определяют сложную картину “турбулентности Бюргерса”. При этом возникают такие интересные явления, как перемежаемость и перенос энергии по спектру.
Отметим, что безвязкостное (х = 0) уравнение Бюргерса, называемое также уравнением Римана, описывает эволюцию поля скоростей в потоке невзаимодействующих частиц. При этом возникающую неединственность решения, связанную с опрокидыванием ударных волн, можно иногда интерпретировать как многопотоковость, имеющую место, например, для оптических лучей. Многие физические системы, описываемые без-вязкостным уравнением Бюргерса в области, где решение неединственно, эволюционируют согласно так называемому энтропийному решению, которое получается из решения (1) с х ф 0 при х —> 0.
Таким образом, уравнение Бюргерса описывает содержательные и разнообразные физические явления. С математической лее точки зрения замечательный факт состоит в том, что с помощью подстановки у(1,х) = — 2хУж1оgu(t,x), обычно называемой подстановкой Хопфа-Коула. но впервые примененной В. А. Флориным в работе [-32] 1948 года, т.е.. до соответствующих работ Э. Хопфа и С. Коула, можно свести задачу к уравнению теплопроводности

т = хЛи'
и(0,х) = щ(х) = е~т/2х.
Отметим, что косвенным образом эта подстановка содержится в монографии А. Р. Форсайта [69. р. 101-102] 1906 года.
Из работ А. Н. Тихонова ([30]) и Д. В. Уиддера([95]), следует, что то единственное неотрицательное решение задачи Коши для уравнения теп-
Интерес представляют максимальные неравенства для процессов и полей в тех пли иных предположениях о зависимости рассматриваемых случайных величин. Так. в случае, когда рассматриваемая последовательность образует субмартингал, оценки максимума последовательности даются максимальными неравенствами Дуба для субмартингалов (см., например, [-36, с. 525]). Пусть Ху Хп,п ^ 1 — последовательность неотрицательных случайных величин, образующая субмартингал относительно некоторой фильтрации. Введем обозначение X* = гпах1^то^„ АД,. Тогда одно из неравенств Дуба записывается следующим образом: для любого е > О
Р{Х* ф £} ф Е---1: Л">,} Д Щ±.
В работе Ч.Ньюмена и А.Райта [85] проводится глубокая аналогия между мар!ипгальными последовательностями и последовательностями сумм ассоциированных величин. В частности, вводя понятие деми-мартингала. Ч.Ньюмен и А.Райт устанавливают аналоги максимальных неравенств Дуба для таких последовательностей. Приведем здесь одно из этих неравенств (см. также [84]).
Теорема 1.3 ([85]). Если центрированные ассоциированные случайные величины Ху,...,Хп обладают конечными дисперсиями и Б к = Х + ... + АД. к = 1,..., п, то при гч — 1 > % > 0.
р{д; ф < ^ф^ггтр{15”1 > V/DSф} - (1.10)
где Б* = тах{5ь .... Бп}.
С помощью неравенства (1.10) в [84] был получен принцип инвариантности для стационарных ассоциированных случайных процессов. Многомерный аналог этого неравенства, позволивший получить многомерный принцип инвариантности для ассоциированных полей, установлен А.В.Булинским и М.Кином.
Теорема 1.4 ([51]). Если для ассоциированного центрированного случайного поля {Х^еу-ч выполнено условие виру Е]^]2+<у при некоторомI д > 0 и коэффициент Кокса-Гримметта убывает к нулю степенным, образом, то при достаточно больших а для любого множества
и = {д е Ъйф < сц ^ у', г = 1,..., д}