Геометрические методы в теории случайных полиномов

• Автор: Запорожец, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 84 с.

0.1. Краткая история
0.1.1. Вещественные корни
0.1.2. Комплексные корни
0.2. Связь с интегральной геометрией
0.3. Краткое содержание работы
.■л
^ 0.4. Предварительные сведения и обозначения
0.5. Благодарности
^ Глава 1. Случайные полиномы одной переменной
1.1. Среднее число вещественных корней
1.1.1. Плотность для множества плоских прямых
1.1.2. Плотность для множества полиномов
1.1.3. Примеры

1.2. Корреляционная функция вещественных корней
1.3. Распределение числа вещественных корней
1.4. Среднее число корней в комплексной области
1.5. Один необычный пример
1.5.1. Схема построения примера
1.5.2. Построение сц
® 1.5.3. Построение Ьк и окончание доказательства

Глава 2. Случайные полиномы нескольких переменных
2.1. Средняя площадь алгебраической гиперповерхности
2.2. Среднее число нулей градиента случайного полинома
2.3. Среднее число решений системы уравнений
2.4. Общая формула
ф 2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Вспомогательные леммы
2.4.3. Доказательство теоремы

0.1. Краткая история
Рассмотрим случайный вещественный полином одной переменной
Gn(t) = £о + + ''' + Си-Д" 1 + (1)
где £oi — некоторые случайные величины, которые в этом параграфе
мы будем считать независимыми, одинаково распределенными и невырожденными. Обозначим через Мп С С1 множество всех корней полинома. Для произвольного множества Л обозначим через Ао(Л) число элементов в А. Так, Ао(Мп П М1) означает число вещественных корней полинома, Ао(Мп Г) [а, 6]) означает число вещественных корней в промежутке [a, b], а Ао(Мп П fi) — число корней, лежащих в некотором подмножестве П комплексной плоскости С1.
0.1.1. Вещественные корни Блох и Пойа [21] первыми по существу рассмотрели задачу о вещественных корнях случайных полиномов. Они получили оценку
ЕАо(Мга П К1) = 0(-/п), п —> оо
для случая, когда Р{ф = —1} = P{£j = 0} = Р{^у = 1} = |. Их исследования продолжили Литтлвуд и Оффорд [27, 28, 29], которые для нормально распределенных, равномерно распределенных на [—1,1] и равномерно распределенных на { — 1,1} величин доказали соотношение
Clogn (log logn)2
^ ЕАо(М„ П R1) < 25(logn)2 + 12logп, п е N.
Первый асимптотически точный результат был получен Кацем для нормальных [25] и равномерно распределенных [26] случайных величин:
ЕЛо(М„ П R1) = — logn(l + о(1)), те —> оо. (2)

Впоследствии И.А. Ибрагимов и Н.Б. Маслова [6, 7] обобщили данную формулу на класс случайных величин, распределение которых принадлежит области притяжения нормального закона: для распределений с нулевым средним выполнено соотношение
.Е{Л0(МП nR1)|G„(i) ф 0} = — log?7.(1 + о(1)), те —> оо,

для распределений с ненулевым средним половина корней "исчезает": Е{Л0(М„ П М1)!^) ф 0} = - logп(1 + о(1)), те —» оо.

Примерно в это же время Логан и Шепп [30, 31] показали, что для случайных величин ф с характеристической функцией распределения е_^1“(0 < а. < 2) справедливо асимптотическое равенство
ЕАо(Мп П IR1) = calogn(l + о(1)), те —> оо,
причем константа са была ими явно выписана. Эта оценка была распространена И.А. Ибрагимовым и Н.Б. Масловой [9] на класс распределений, принадлежащих области притяжения устойчивого закона.
Из личной беседы с И.А. Ибрагимовым автору стало известно, что среди специалистов в данной области существует гипотеза о том, что для любого невырожденного распределения коэффициентов существуют такие константы ci,C2, что справедливо следующее неравенство:
ci log те ^ ЕАо(М„ П М1) ^ С2 log те, те € N.
Пример, построенный в параграфе 1.5., опровергает данную гипотезу.

Пусть ((п + 1)!Ьп+6._1)-1 ^ |г| ^ 1. Тогда
|г _т. ^ Ъп+а ^ ((п + в)!6„+5_1)п+8
>6т‘>*! ((п + -1)1.Ьп+.-1У ((п + а)!6„+=-1 >пК+’-^
Е«<2‘

откуда следует, что Сп не имеет корней при ((п + 1)!Ь„+5_1)-1 ^ г < 1 (если произошло С,}). Так как ((п + 1)!Ьп+4._х)_1 ^ еп, то, обозначая через 1х индикатор события X, получаем
ЕА0(М„ П {е„ < г < 1})
= ЕАо(М„ П {еп < г ^ 11)1(3 + ЕАо(М„ П {еп < |г| ^ 1}) 1<э<

= ЕА0(МП П {еп < г ^ 1})1д<= ^ пР{Сдс}
(п + I)2’ что доказывает (Ь).
Для доказательства (а) разобьем вероятностное пространство на 2те + 2 события

П=>{&<0}пр){^>0}, к = 1 п,

Рп+г = ПШ > °}>

Нк = {Д > 0} П П(Д < 0}, к = 1 п,
у П ■ '
Нп+1 = Р){0 < °}>

% вероятности которых суть
'* Р{^} = Р{Я,} = ^1, к = 1,... ,п,
Р{Рп+1} = Р{Я?(+1}
2п+1'
Докажем, что если произошло событие <5 П Я, то С„(£) имеет на отрезке [0,1] не более, чем к вещественных корней. Как и при доказательстве (Ь), рассмотрим максимальный по модулю коэффициент £г, для которого выполнено ® |Сг| = ^п+6'1 й £ N .