Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для одновыборочных и многовыборочных U-статистик от разнораспределенных случайных величин

• Автор: Гадасина, Людмила Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 117 с.

1 Основные понятия

1.1 Одновыборочные [/-статистики

1.1.1 Мартингальная структура [/-статистик

1.1.2 Центральная предельная теорема

1.1.3 Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме

1.2 Многовыборочные [/-статистики

1.2.1 Мартингальная структура многовыборочных [/-статистик

1.2.2 Центральная предельная теорема

1.2.3 Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме

1.3 Примеры [/-статистик

1.4 Вспомогательные сведения

1.4.1 Лемма о срезках
1.4.2 Метод характеристических функций (неравенство Эссеена)
1.4.3 Метод рандомизации
1.4 4 Вспомогательные неравенства и соотношения
2 Неравенства типа Берри-Эссеена для [/-статистик
второй степени
2.1 Введение
2.2 Результаты
2.3 Доказательства
3 Неравенства типа Берри-Эссеена для [/-статистик произвольной степени
3.1 Введение
3.2 Результаты
3 3 Доказательства
4 Центральная предельная теорема для многовыборочных [/-статистик
4.1 Введение

4 2 Результат
4.3 Доказательство
5 Неравенства типа Берри-Эссеена для многовыборочных [/-статистик
5.1 Результаты
5.2 Доказательства
6 Специальные приложения: [/-статистики на графах
Заключение
Список литературы

Теория (/-статистик начала развиваться после выхода работ Халмоша [32] в 1946 году, где была определена (/-статистика как оценка регулярного функционала, и Гефдинга [34] в 1948 году, где были описаны некоторые свойства II-статистик, доказана центральная предельная теорема, приведены многочисленные примеры.
Являясь обобщением сумм случайных величин, [/-статистики в случае невырожденности асимптотически им эквивалентны Кроме того, (/-статистики проявляют мартингальные свойства, что позволяет применять к ним мартин-гальные предельные теоремы.
Интерес к этому математическому объекту постоянно возрастает и находит широкое применение в различных разделах теории вероятностей и математической статистики, например, в теории оценивания: [27, 41], в теории проверки гипотез: [30, 43, 44, 49, 46] или в теории случайных графов: [24, 50]
Одним из классических вопросов теории вероятностей является нахождение скорости сходимости статистик в центральной предельной теореме. Для II-статистик, построенных по выборке из независимых случайных величин, этот вопрос в настоящее время глубоко исследован.
Целью данной работы является исследование невырожденных одновыборочных и многовыборочных (/-статистик в случае неодинаково распределенных случайных величин. Для одновыборочных (/-статистик - получение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при минимальноых моментных предположениях на ядро. Для многовыборочных - доказательство центральной предельной теоремы с оцениванием скорости сходимости в ней Диссертация состоит из шести глав Первая глава носит обзорный характер. В ней даны основные определения, представлены некоторые свойства и примеры (/-статистик, сделан обзор имеющихся результатов, а также описаны основные методы исследования, применявшиеся автором.
Во второй главе получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для (/-статистик второй степени. В третьей главе получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для [/-статистик произвольной степени.
Четвертая и пятая главы посвящены многовыборочным (/-статистикам. В четвертой главе доказывается центральная предельная теорема, а в пятой изучается скорость сходимости к нормальному закону
В шестой главе расматриваются приложения к конкретным задачам. Рассматриваются примеры (/-статистик, появляющихся при изучении характеристик случайных графов.
По теме диссертации опубликовано 6 работ, они перечислены в конце списка литературы под номерами [52]-[57]. Результаты диссертации докладывались на шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Санкт-Петербурге в 2005 г.; на пятой Всероссийской конференции по

3.3 Доказательства
Доказательство теоремы 3.1 Введем следующие обозначения чах,с ) = [ [ ип(д'1) П (<Д, (*/.,) - Р, №/„)),
= [ [ Ш') ШКШ - РМъ.)) П РМу,)
■Уч ’п ‘=і >ЄІЛ-Іі
= -/ { 1ШАЫ>°п))ШЬ^1У,,)-р]Муп)) ГІ РШ
Л Л 4=1 4Є/,Уі
с > Л Тогда по представлению Гефдинга
и,Мі) = Е Е і явд,)
с/— 1 ^^1<п
Тогда можно записать
гм тп тп с
Е вд:) = Е зди + Е Е Е г 1 с 1 г— 1
ш п т т-1 тп
= 01 + ЕЕь№) + ЕЕтДЛ Е Е Е^Л)>
г — 1 д“ 1 с“2 І{ (I 2 с— <ІЧ-1 Ді

*. = -ЕЕад(Ы>*»)
г=1 I,
Далее
гм и п тп п
ЕЕ^(Е) = Еи^) ь ЕЕ^„(Е)
г=1^=1 ;=1 г—2
Определим
Не] = Ус]П) к с)
їіс]ті = 7 ~ г
п т
= Х^ ^(9;п + X] ’

гм п
*2 = = (Д/и XI = Х-/ 2-?}
г=2

С]/ <
Применив лемму о срезках 1 3, получаем