Композиция и декомпозиция дискретных марковских процессов и их применение

• Автор: Кистаури, Элгуджа Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 144 c. : ил

ГЛАВА I. КОМПОЗИЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ МАРКОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ (ДМП) С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

§1.1. Пространственное (неасимптотическое) и

временное укрупнение состояний ДМП

§1.2. Параллельная композиция и декомпозиция дискретных марковских процессов

1.2.1. Параллельная композиция ДМП

1.2.2. Изоморфная параллельная декомпозиция

1.2.3. Гомоморфная параллельная декомпозиция

1.2.4. Параллельная декомпозиция с растяжением времени процессов независимых испытаний
§1,3. Последовательная композиция и декомпозиция дискретных марковских процессов
1.3.1. Последовательная композиция ДМП
1.3.2. Последовательная изоморфная декомпозиция ДМП
1.3.3. Последовательная гомоморфная декомпозиция ДМП
§1,4. Петельная декомпозиция дискретных марковских процессов
§1.5. Последовательная декомпозиция ДМП на процесс независимых испытаний и систему детерминированных дискретных марковских процессов
Краткие выводы
Глава II. КОМПОЗИЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ МАРКОВСКИХ
ПРОЦЕССОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
§2.1. Пространственное укрупнение состояний и параллельная композиция дискретных марковских

процессов с непрерывным временем
§2.2. Изоморфная параллельная декомпозиция ДМП с
непрерывным временем
§2.3. Гомоморфная параллельная декомпозиция ДОЗ с непрерывным временем
2.3.1. Изменение спектра инфинитезимальной матрицы при расщеплении и параллельной композиции
2.3.2. Расщепление состояний ДОЛ с непрерывным временем и гомоморфная декомпозиция
Краткие выводы
Глава III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОМПОЗИЦИИ И ДЕКОМПОЗИЦИИ ДОЛ
§3.1. Применение параллельной декомпозиции ДОП с непрерывным временем при вычислении спектра инфинитезимальной матрицы и решения систем дифференциальных уравнений Колмогорова
§3.2. Применение параллельной декомпозиции ДОП
при вычислении стационарного распределения
§3.3. О стационарном распределении возмущенных

§3.4. О стационарном распределении недекомлозируемых ДМП с дискретным временем
§3.5. Программирование процесса декомпозиции
Краткие выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Дискретные однородные марковские процессы (ДМП) |W (t дискретно или t>'0), введенные впервые А.А.Марковым в работах /Ч6»V?/, полупили в дальнейшем интенсивное развитие в основополагающих работах советских и зарубежных авторов /зб » 37 ,53»
15 » 19 » 51/.определим коротко однородный ДМП. Пусть i меняется дискретно, Ь-0,1,й, •• • и пусть задано множество состояний X =■ начальное распределение , fjp-Pfl“’-1'
- ù ^ , tel и стохастическая матрица Р- (Pq) е I_) ,
p. = p-j = )/= тогда эволюция coответствующего однородного ДМП определяется конечномерным распределением
В {I w , О 41К 4 я] = П , VLl, JK é I
Если t^o, то множество состояний I , начальное распределение р= (Pi t XJ) и стандартная матрица & Ш
определяют соответствующее конечномерное распределение однородного ДМП | et) с непрерывным временем, t>'0.Однородный ДМП |Lt), t>o можно задать также множеством состояний I , начальным распределением р= ( р j ^ eXJn инфини-тезимальной матрицей Р'(о)- (FlJ(0)jhjelj » где рcj(0^0 ,
; Ри/(°)^0 и Р/(0) = - 2 рк(0>) hÙK él . В ЭТОМ
случае стандартная матрица P(t; определяется решением прямых или обратных систем дифференциальных уравнений Колмогорова.
Пространственное и временное укрупнение является одним из важных задач теории марковских процессов, поскольку укрупнение позволяет в ряде случаев осуществлять более простое вычисление некоторых характеристик исходного процесса.
- 50 -
ворить, что р*-) допускает параллельную гомоморфную декомпозицию с покрытием в узком смысле.
Любую, изоморфную модификацию ДМП назовем параллельной гомоморфной декомпозицией с покрытием ДМП
в широком смысле.
Заметим, что определения параллельной гомоморфной и изоморфной декомпозиций без покрытия ДМП совпадают.
Теорема 1.2.2. ДМП с множеством состояний Г ={*■>%’>■■ - }
допускает параллельную гомоморфную декомпозицию с покрытием при расщеплении произвольного числа состояний на два тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) при расщеплении ® выполняются условия леммы 1.2.2;
2) |(укрупним по и стохастически
независимы, где один из £1К) может совпасть с 6 ,
K--l.no, ;
3) У^Чя"’, К,17Д.
Достаточность следует из леммы 1.2.2, теоремы 1.2.1 и определения 1.2.7. Необходимость следует из определений 1.2.7 и
1.2.4, леммы 1.2.2 и теоремы 1.2.1.
1.2.4. Параллельная декомпозиция с растяжением времени процессов независимых испытаний.
Б §1.1 мы рассмотрели временное укрупнение ДМП и отметили, что если имеется ДОЛ |(Л-) , то всегда существует укрупненный ДМП (к) , с начальным распределением р и стохастической матрицей Р , которые определяются формулами (1.1.4) и (1.1.8).Следуя терминологии / % /»мы будем говорить в таком случае, что ДМП ри.) моделирует ДМП
Пусть имеется процесс независимых испытаний (ПНИ) чр|и.) с