Исследование систем массового обслуживания с отрицательными заявками и бункером для вытесненных заявок

• Автор: Разумчик, Ростислав Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с. : ил.

Содержание

Введение З
1 Одноканальная экспоненциальная система массового обслуживания с отрицательными заявками и бункером для вытесненных заявок
1.1. Описание системы
1.2. Стационарное распределение вероятностей состояний
1.3. Стационарное распределение времени ожидания начала обслуживания
2 Стационарные характеристики в экспоненциальных системах массового обслуживания с различными ограничениями на емкости накопителя и бункера, и на число приборов
2.1. Случай бесконечного накопителя и конечного бункера
2.2. Случай конечного накопителя и бесконечного бункера
2.3. Случай конечного накопителя и конечного бункера
2.4. Случай нескольких приборов
3 Одноканальная марковская система массового обслуживания с отрицательными заявками и бункером для вытесненных заявок в дискретном времени
3.1. Описание системы
3.2. Стационарное распределение вероятностей состояний ... 91)
3.3. Стационарное распределение времени ожидания начала обслуживания
Заключение
Список литературы
Приложение

Введение
Считается, что первой, математической работой по теории массового обслуживания, является работа А.К. Эрланга “Теория вероятностей и телефонные разговоры“ (“The Theory of Probabilities and Telephone Conversations“) [1]. Работы А.К. Эрланга и других ученых двадцатых и тридцатых годов были посвящены в основном решению практических проблем, связанных с управлением нагрузкой в телефонных сетях. В течение следующих двадцати
лет, в результате того, что все больше ученых проявляли интерес к изучению данных проблем, были разработаны модели, которые позволяли исследовать более сложные явления и системы. Среди ученых того времени, которые уделили значительное внимание развитию теории массового обслуживания, необходимо отметить
Г.П. Башарина [2]—[3], A.A. Боровкова [4], Б.В. Гнеденко [5], Д. Кендалла [6], А. Колмогорова [7], Д. Кокса [8], К.Д. Кроммелип [9], К. Пальма [10], Ф. Поллачека [10], Ю. Прохорова [22], Т. Саати [12], Б.А. Севастьянова. [13], В. Смита [14], JI. Такача [15], В. Феллера [16], Ф. Фостера [17], А.Я. Хинчина [18].
К концу шестидесятых готов большинство систем массового обслуживания, которые встречались в приложениях и адекватно описывали реальные системы были уже исследованы. Вновь появляющиеся
работы касались модификаций существующих систем и практически не добавляли нового знания. В научной среде звучали мнения о том, что исследования в данной области практически подошли к своему логическому завершению. Однако едва кто-то мог предвидеть будущий и скорый стремительный прогресс в компьютерных технологиях и то влияние, который он окажет па теорию. Дальнейшее развитие теории массового обслуживания оказалось тесно связанным развитием таких областей практической деятельности как техника и технология связи, организация и планирование производства и др. Основные исследования велись и ведутся в рамках следующих направлений: матрично-
геометрические методы, обращение преобразований, сети массового обслуживания, информационно-коммуникационные технологии, сети и

системы связи, производственные системы, системы обслуживания специального вида (поллинг системы, системы с повторами, прогулками и др.), статистический анализ, управление и оптимизация.
В связи с лавинообразным развитием инфокоммуникационных технологий п стремлением бизнеса эффективно использовать свои финансовые ресурсы, требуется создание аналитических моделей, адекватно представляющих реальные системы обработки и передачи данных. Данные модели должны учитывать как характерные особенности систем, так и возможное влияние различных дестабилизирующих факторов, как, например, внезапные сбои, попадание вируса, потеря передаваемых или обрабатываемых данных, существенное увеличение времени обработки информации вследствие всплеска нагрузки на узел.
Для анализа влияния на систему дополнительных (внешних и внутренних) факторов в работе [23] была введена концепция отрицательных заявок и связанных с ними сетей и систем массового обслуживания, которые получили название соответственно С-сети и С-системы. Суть отрицательных заявок заключается в следующем. Отрицательная заявка при поступлении в СМО или некоторых узел СеМО “убивает11 (разрушает) одну обычную заявку, ожидающую в очереди, после чего обе заявки мгновенно покидают систему, уменьшая число ожидающих положительных заявок на единицу. В дальнейшем понятие отрицательной заявки было распространено на случай, когда она может “убивать11 группу заявок из очереди или полностью опустошать очередь (катастрофы), были также введены понятия триггера, выталкивающего положительную заявку из одного узла сети в другой, и сигнала, который с заданной вероятностью может быть либо отрицательной заявкой (в традиционном смысле), либо триггером. Подробный обзор публикаций до 2003 года в области исследования СеМО и СМО с отрицательными заявками, включая известные обобщения, содержится в обзорах [20, 26).
Сейчас С-системы и С-сети остаются актуальным предметом исследований. Среди прикладных и теоретических работ, опубликованных после 2003 года, можно упомянуть [27]—[38]. В работе [29] показано как системы с отрицательными заявками и катастрофами

функций Бесселя (см. [57, Таблица 8.4-1]) и получить явный вид У (ж):

У (ж) = 1 -р+^1 ^е-(А+/1+А“);//1 (2у/(/х + А-)у) Л/+

+ ~—[ — е“(А+м+А")у/1 (2>/А(/х + Л-)у) Е*г{х-у)<1у, X > О, МУ? ~1 2о 2/ 4 '
где /Дж) — модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка, а Р*г(х) определяются по формуле

‘(ж) - £ - с~<А-'У"/, (2у/А^у) У^Дж - у)%, г > 2,

Л[х) = I -Ре-^ч^^
Используя результаты теоремы 1.4, можно выписать моменты любых порядков стационарного распределения времени ожидания начала обслуживания. Дифференцируя (/з(й) для данной дисциплины один раз получим:
<^00 = , >_-У(5; + Л~)+
/X т А
| А~р(1 - у) _ [У(я; м + Л~)7(5; д) + 7(5; !± + А~)У (а; д)]
/х + А- (1 - <гу(в; д))
А~р(1 - д) _ дф- ц + А~)7(а-; /х)У(д; /х) ц + А- (1 - 97(5; /х))
Тогда среднее стационарное время ожидания начала обслуживания т равно
” = = мул?
что совпадает с (1-32) и подтверждает формулу Литтла. Формула для среднего времени пребывания заявки в системе имеет вид (1.33).
Второй момент времени ожидания начала обслуживания с/з'ДО) равен

^(0) = (А- + /х-А)з +
2(А 11) 2/л(Х //- — А) — АА
^ / _ ! л о / о
+-,Х~Р
А + /I
(А-+/л — А)3 (А~ + /х — А)2(/х — А)2 (д —А)