Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению

• Автор: Куликова, Анна Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с. : ил

Содержание
Введение

Список обозначений

1 Формула суммирования Пуассона

1.1 Формула Пуассона. Формальный вывод

1.2 Обобщения формулы

1.3 Условия справедливости

1.4 Приложения в теории вероятностей

1.5 Применения формулы Пуассона

2 Оценка сходимости к равномерному распределению в терминах убывания характеристических функций

2.1 Сглаживающее распределение

2.2 Неравенства для разности уо15(Пд^) — уо18(П)
2.3 Неравенства для Р{Х е О)
2.4 Оценка одной суммы по т 6
2.5 О характеристической функции Д1; У(С))
2.6 Одна теорема о сходимости к равномерному распределению
2.7 Одновершинные распределения
2.8 Некоторые свойства компактных выпуклых тел в К*. Симметризация Шварца
2.9 Равномерные распределения на компактных выпуклых телах
3 Распределение дробных частей гауссовских случайных векторов
3.1 Оценка величины |р(т;{Х}) — 1|
3.2 Случай в =
3.3 Случай 5 =
3.4 Случай ,?=
3.5 Случай произвольного в
3.6 Пример: выборка из марковской последовательности
4 Распределение дробных частей случайных величин из некоторых параметрических семейств

4.1 Логарифмически нормальное распределение
4.2 Хи-квадрат распределение
4.3 Устойчивое распределение
4.4 Двумерное нормальное распределение
5 Закон первой значащей цифры
5.1 Оценка отклонения от закона первой значащей цифры
5.2 Пример: логарифмически нормальное распределение
А Таблицы
В Графики
Список литературы

Введение
Первая глава. Глава 1 посвящена формуле суммирования Пуассона. Перечислены некоторые результаты, сформулированные и доказанные вне связи с теорией вероятностей. В §1.4 приведен вид формулы, наиболее удобный для приложений в теории вероятностей, а также сформулированы и доказаны условия справедливости формулы суммирования Пуассона в контексте теории вероятностей и ряд вспомогательных утверждений, которые используются в последующих главах для оценки отклонения распределений вероятностей от равномерного. Глава 1 носит обзорный характер и является вспомогательной по отношению к другим главам.
Если р(х X) — плотность распределения вероятностей случайной величины X и f{t; X) — соответствующая характеристическая функция, то формулу суммирования Пуассона можно записать следующим образом:
Обозначим через S(x) сумму ряда, стоящего в левой части (она периодична с периодом 1).
Ряд, стоящий в правой части формулы, является рядом Фурье функции S (ж).
Плотность дробной части {X} случайной величины X представляется в виде
Следовательно, при х € [0,1] отклонение р(ж;{А'}) от 1 (плотности равномерного распределения) оценивается величиной
В главе 1 перечислены условия справедливости формулы суммирования Пуассона и ее многомерного обобщения. Их отбор определяется основной целью настоящей работы, которая состоит в сравнении распределения дробных частей случайных величии (случайных векторов) и равномерного распределения.

р(х + к X) = 1 -1- f(2im;X)e

У] /(2тгп;Х)е

который непуст, так как открытый куб (О, l)s 6 По теореме
sup Р(Хп Є D) - voL,(D)| < cM(s,/, K)n-W+S
DeT>i(n)
Рассмотрим теперь дополнительный класс
2?a(n) = V Щп) = {DeV-. vol,(D) < пГ^^/сe,a(a)}.
Для каждой D є 'Diin) выберем выпуклую область ТУ такую, что D С ТУ С [О, l]s и vols(D') = я-1^,+^/с6д(в). Тогда 7?' Є 2?і (гг), и по доказанному
sup |Р(Д„ Є D) - volj(D) | < sup (Р(А'П Є D) + vos(D)) < D£V2(n) Dev2(n)
sup (P(A"n Є D’) + vols(i3)) <
D£T>2(n)
sup (|P(X„ є D’) - vols(L>')l + vol.,(Z)') + vols(D)) <
D€V2(n)
sup (|P(X„ Є D) - vols(D)|) + 2n_1/(i+s)/c6,2(s) <
D€Pi(n)
(С6д(5,/,^) + 2/Сб,2(5))п-ад+*).
Поскольку T>i(n) U T>2(n) = V, доказательство завершено. □
Докажем теорему 1.
Всюду ниже D обозначает компактное выпуклое множество в Rs, имеющее внутренние точки (то есть компактное выпуклое тело, по терминологии [28]), a Vr(.D) обозначает случайный вектор с равномерным распределением в D, то есть
p(x-,V(D)) =
1/volS{D), х Є D, О, х ф D.
Если 2 6 М1 случайная величина, то ее функцию концентрации обозначим
<2(2; 2) = эир Р(г < 2 < г + I), I > 0.