Математическое моделирование некоторых методов проверки статистических гипотез, основанных на теории больших уклонений

• Автор: Романова, Татьяна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Оценка мультипликативной константы.
1.1 Состоятельность оценки мультипликативной
константы
1.2 Численный анализ мультипликативной
константы
2 Анализ точности аппроксимаций. >
2.1 Проверка гипотезы однородности двух
многомерных выборок
2.2 Проверка гипотезы независимости
2.3 Численный анализ асимптотик
3 Оценивание мощности критерия однородности.
3.1 Асимптотическое поведение статистики Питербарга-Тюрина при альтернативе сдвига
3.2 Численный анализ статистики Питербарга-Тюрина при альтернативе сдвига.
3.3 Оценивание мощности критерия однородности
3.4 Доказательство теоремы
Введение.
Классическая теория математической статистики включает методы обработки данных, основанные на предположении, что закон распределения наблюдений принадлежит к тому или иному параметрическому семейству. Одним из наиболее важных распределений является гауссовское семейство. Отчасти это объясняется тем, что основными потребителями математической статистики в прошлом были дисциплины, для которых характерно было высокое качество измерений, например астрономия и геодезия, а ошибки в измерениях близки к нормальному распределению. Поэтому методы обработки наблюдений, имеющих нормальное распределение, разработаны достаточно полно как для одномерного случая, так и для многомерного. Например, в гауссовском случае проверка гипотезы о независимости признаков сводится к проверке гипотез о равенстве нулю коэффициентов корреляции (см., например [2, Глава 4 и 9], [19, Глава 29]), а проверка однородности заключается в проверке гипотез о равенстве одновременно ковариационных матриц и векторов средних значений (см., например, [2, Глава 10], [19, Глава 42]).
Разработанные для нормального распределения методы иногда приходится применять и в тех случаях, когда имеются какие-либо отклонения от нормальности. Применение гауссовских методов для негауссовских наблюдений превращает точные выводы в приближенные. На практике упомяну-

тые отклонения бывает трудно обнаружить, поскольку статистик располагает лишь ограниченным числом наблюдений. Между тем даже малые отклонения от нормальности могут сильно искажать статистические свойства гауссовских правил.
Один из способов решения этой проблемы — разработка таких статистических методов в рамках гауссовской модели, результаты применения которых были бы устойчивы, малочувствительны к тем или иным отступлениям от нормальности. Это важное направление, известное как робастая статистика, очень интенсивно разрабатывается в последние десятиления.
Если же имеется явное отклонение распределения от гауссовского, проверка корректности выводов, полученных в рамках нормальной модели, может перерасти в сложную проблему. Специально для этих случаев были разработаны непараметрические методы анализа данных. Непараметрические методы — это методы не предназначенные специально для какого-либо параметрического семейства распределений и не использующие свойства этого семейства. Обычно, непараметрические методы проще в применении, чем их конкуренты из нормальной теории. Кроме того, они применимы в ситуациях, в которых методы нормальной теории не ’’работают”. Например, для многих непараметрических методов требуются не действительные значения наблюдений, а только их ранги. Как правило, непараметрические методы лишь немного менее эффективны, чем их конкуренты из нормальной теории, если рассматриваемые генеральные совокупности нормальны. Эти методы могут оказаться значительно эффективнее, чем их соперники из нормальной теории, если распределения генеральных совокупностей отличны от нормального.
В одномерном случае разработано большое количество непараметри-

Для тестирования гипотезы Наф используется критерий основанный на коэффициенте ранговой корреляции Кендалла [17]
= 8ёп((атхг - атХ})(ртУг - /5ТУД), (2.10)
П[П ' 1<&1<п
где sgn(ж) — знаковая функция. По Кендалу гипотеза Наф отвергается, если |тп(аг,/5)| слишком велико. Поэтому в качестве тестовой статистики можно использовать
зир |тп(а, /5)|.

Рассмотрим нормированный коэффициент ранговой корреляции
Тп(а, /3) = а~г ]Г 8ёп((атХг--атХД(/5т^-/5т¥Д), (2.11)

сг2 = 2/9 п(п — 1)(2 га + 5)
— дисперсия случайной величины п(п — 1)т„(а:. /5) при выполнении гипотезы Н. Заметим, что статистика Тп(а,(3) постоянна вдоль любого двумерного направления, то есть для любых а, (3 и для любых t >
Тп(га,/3) = Тп(а,и3) = Тп(а,/3).
Кроме того,
Тп(-а,Р)=Тп(а, —0) = —Тп(а, /5).
Следовательно
sup|T„(a, /5)| = sup Tn(of, /5). (2.12)
«,4 Н |3|
Поэтому
• sup Tn(a,/3). (2.13)
Ы=1/?И
является тестовой статистикой для гипотезы независимости.