Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности

• Автор: Акимова, Алена Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Оглавление

Список сокращений и условных обозначений

Введение

1 Классификация примарных проекций на торе Т

1.1 Перечисление проекций, имеющих п < 5 перекрестков

1.2 Перечисление октаэдральных'проекций

2 Классификация виртуальных узлов рода

2.1 Перечисление диаграмм на торе Т

2.2 Доказательство неэквивалентности диаграмм на торе Т

2.3 Доказательство примарности узлов

2.4 Построение виртуальных диаграмм

Заключение
Список литературы
Приложения

Список сокращений и условных обозначений
сШ2 — край диска
(д(.0) — число скручивания диаграммы О И — диаграмма О2 — двумерный диск Ф — проекция 1 — отрезок [0.1]
К — узел
МР'3 — проективное пространство
К” — стандартное евклидово пространство размерности п в — состояние диаграммы О 5" — п—мерная сфера 5 — поверхность 5 х / — утолщенная поверхность Т - тор
Т х / — утолщенный тор
«Двуугольник» —двуугольная грань проекты С

Введение
Напомним, что классический узел, представляет собой произвольную простую замкнутую кривую а трехмерном пространстве Мл. При изображении классических узлов удобно использовать их проекции на плоскость. При этом перекрестками. называются точки плоскости, и которые Проектируются две различные точки узла. Диаграмма узла получается из проекции указанием (путем разрыва нити в окрестности каждого перекрестка), какой из участков узла проходит выше другого. На Рис. 1 показан пример классического узла, .лежащего в трёхмерной сфере 53, и его проекция и диаграмма па плоскости.
Рис. 1: Пример: трилистник, его проекция и диаграмма па плоскости
Естественный алгоритм классификации классических узлов следующий.
]. Составить список всех плоских проекций, сложность (число перекрестков) которых не превосходит выбранного числа п.
2. Преобразовать каждую проекцию в набор диаграмм, выбрав для каждого перекрестка проекции один из двух возможных типов.
3. Исключить из построенного списка диаграмм дубликаты, представляющие один и тот же узел в трёхмерной сфере 5'!.
Основные результаты классификации классических узлов отражены в нижеследующих работах.
• [19]-[21| (1876 — 1884). Первая официальная таблица альтернированных диаграмм узлов с не более чем 10 перекрестками, опубликованная П. Тэйтом. Напомним, что альтернирован!юстъ подразумевает, что при любом обходе диаграммы прохождение перекрестков происходит поочередно то сверху, то снизу.
• [14, 15, 16) (1889 — 1899). Таблицы альтернированных диаграмм узлов с 11 перекрестками и неальтернированных - с п < 10 перекрестками, составленные К. Литтлом.
• |6| (1918). Зеркальные узлы с 12 перекрестками, классифицированные М.Хасмэн. Напомним, что зеркальный узел изотопен своему зеркальному отражению.

Теперь предположим, что С является незамкнутой цепочкой из трех окружностей, с$. Обе точки пересечения окружностей нетранснереальны, потому что иначе С является проекцией зацепления. Один из концов дуги а должен находиться на ребре одной из петель проекции С, а второй - на вершине второй петли, иначе петли сохраняются в построенной проекции С. С точностью до гомеоморфизма тора на себя, существуют ровно 4 различных способа взаимного расположения окружностей, каждая из которых может быть тривиальной или нет, и дуги а. На Рис. 1.17 показано получение соответствующих проекций:
61,62,64,65.
Рассмотрим варианты II и III.
Рис. 1.18: Нити, из которых составлены фрагменты проекций вариантов II и III
Покажем, что проекция G, содержащая фрагмент II или IIJ, обязательно содержит и фрагмент I. Действительно, фрагменты II и III состоят из, соответственно, 3 и 4 ни чей (на Рис. 1.18 они показаны разными типами линий). Как и ранее, G' обозначает построенный фрагмент проекции G. Для получения проекции G нити фрагмента G' нужно соединить в одну. При этом необходимо соединять концы нитей, окрашенные в разные цвета, иначе восстановится проекция зацепления. Ребро, соединяющее два конца, может проходить
1) нетривиально, т.е. изменять типы компонент дополнения ТС■
2) тривиально.
Легко видеть, что соединение пары концов ребром, проходящим тривиально, приводит к созданию петли, кратного ребра или фрагмента I. Следовательно, новое ребро нужно проводить нетривиальным образом, 3 и 4 раза соответственно, в то время как на торе возможно только 2 раза, а в кольце, в котором уже лежит фрагмент II - только 1.
Рассмотрим вариант IV.
Очевидно, что дополнение TG к проекции G, имеющей такой фрагмент, содержит кольцевую компоненту.