Шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны

• Автор: Шестакова, Маргарита Аркадьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 116 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Многомерные шестиугольные три-ткани

^ 1. Структурные уравнения многомерной три-ткани

2. Универсальные тождества и конфигурации на многомерных три-тканях. Шестиугольные три-ткани

3. Структурные уравнения многомерной ткани Н„

4. Структурные уравнения шестимерной ткани Н3

5. Изоклинные три-ткани Н3

Глава 2. Классификация шестимерных шестиугольных три-тканей с частично симметричным тензором кривизны
1. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны второго типа
2. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны третьего типа
3. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симмет-
^ ричным тензором кривизны четвертого типа
4. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны и неразрешимой касательной алгеброй Ли
Глава 3. Геометрические и алгебраические свойства тканей Н и Я|
1. Явное действие группы на слоениях ткани Н}
2. Характеризация шестиугольной три-ткани Н3 в терминах семимерной алгебры Ли группы автоморфизмов
3. Вычисление тензоров кручения и кривизны три-тканей Н и

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Геометрия три-тканей возникла на рубеже 20-х-30-х годов двадцатого века в работах немецкого геометра В. Бляшке, его учеников и коллег. В своей книге [18] Бляшке пишет: “Итак, мы видим, что столь необходимая для техники номография может быть включена в наше учение о тканях. Но геометрия тканей тесно связана и с многими “классическими” областями математики. В первую очередь имеется ввиду:
1) вопросы аксиоматического обоснования элементарной и проективной геометрии;
2) алгебраическая теория групп и теория непрерывных групп Ли;
3) проективная и алгебраическая геометрия;
4) классическая дифференциальная геометрия Гаусса;
5) проективная дифференциальная геометрия;
6) риманова геометрия и ее обобщения;
7) вариационное исчисление;
8) теория функций;
9) формы Пфаффа и дифференциальные уравнения;
10) теория расслоенных пространств.”
В этом высказывании содержится, по существу, целая программа исследований, к настоящему времени частично реализованная.
В первых работах по теории три-тканей, написанных В. Бляшке и его учениками, строится локальная “топологическая” дифференциальная геометрия ткани, т. е. изучаются локальные дифференциально-
Введение

геометрические свойства тканей, инвариантные относительно локальных диффеоморфизмов:
х1 = Р{х■?), 6еЬ Ф 0, = 1,2.
В 1935 году Г. Боль [20] обобщает понятие три-ткани на четырехмерный случай, рассматривая три-ткани, образованные семействами двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве. Он находит полную систему инвариантов изучаемых тканей и с помощью них определяет условия замыкания конфигураций Томсена (Т), Рей-демейстера (Л), и шестиугольных конфигураций (Я), образованных поверхностями ткани (рис. 1-3).
Рис. 4 Рис. 5 Рис.
В 1936 г. появилась работа Черна [34], в которой методом внешних форм Э. Картана изучается геометрия многомерных три-тканей, об-
§ 4• Структурные уравнения шестимерной ткани Н

§ 4. Структурные уравнения шестимерной ткани Н
В данном параграфе мы запишем структурные уравнения для шестимерных шестиугольных тканей (тканей Н3), т. е. положим в общих уравнениях г = 3, г,у, к — 1,2,3. Рассмотрим при г = 3 относительный дискриминантный ковариантный тензор
„ 0, если среди чисел г, j, к есть одинаковые.
Аналогично вводится и контравариантный дискриминантный относительный тензор £г*к. Эти тензоры связаны соотношениями
приведенными в [32]. Их ковариантные дифференциалы имеют вид
С помощью дискриминантного тензора £цк любой кососимметричный тензор Ьи (так как г = 3) может быть представлен в виде
Поэтому тензор кручения И кососимметричную компоненту Ьук]Є тензора кривизны рассматриваемой три-ткани Н3 можно записать так:
где аи и Ъг — некоторые относительные тензоры (см. уравнения (1.4.13) и (1.4.14)). В силу (1.4.2) из соотношений (1.4.6) и (1.4.7)
к ' _1; —/— — / — — / — нечетная
четная,
(1.4.1)
Єіік£1ік = 2 51 £цк£1тк = 25^,
(1.4.2)
(1.4.3)
у£^к = -£цк(4> ^£іік = £іік“
(1.4.4)
Ікі — £кітХ . •
(1.4.5)
(1.4.6)
(1.4.7)
3Слово “относительный” в дальнейших рассуждениях будем для краткости опускать.