Вещественнозначные функции на тихоновских пространствах и описываемые ими топологические свойства и объекты

• Автор: Караваева, Татьяна Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

Терминология и обозначения

Глава 1. Описание всех 5-б и ко м пакт и фи к ац и й 5-тихоновского

пространства

§ 1.1. Обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса

§ 1.2. Описание всех 5 - б и к о м п а кт и фи к а ц и й 5-тихоновского пространства

Глава 2. Различные обобщения теоремы Нагаты

§2.1. 5р-эквивалентные пространства

§ 2.2. Гомеоморфизм слабых базисов. 5-эквивалентные

пространства

Глава 3. Критерий гомеоморфности 5'-тихоновских отображений

§ 3.1. Предварительные сведения

§ 3.2. Критерий гомеоморфности б'-тихоновских отображений
Глава 4. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций
§4.1. Предварительные сведения
§4.2. О равномерных гомеоморфизмах пространств
С${Х,51)
Литература

Терминология и обозначения.
Всюду в работе под пространством понимается топологическое пространство, под непрерывным отображением — непрерывное отображение пространств, под функцией — непрерывное вещественнозначное отображение.
В употреблении терминов, понятий, обозначений мы везде следуем книге П. С. Александрова и Б. А. Пасынкова [1]. В частности, в [1] приведены определения размерностей dim, Ind , ind , а так же базисные понятия общей топологии, такие как тихоновость, бикомпактность, метризуемость и т. д.
Через Е, Q, Z, N обозначаются множества, соответственно, действительных, рациональных, целых, натуральных чисел. Через Eg обозначаем множество всех неотрицательных действительных чисел, через Qg — множество всех неотрицательных рациональных чисел. Е+ = Eg"{0}.
Мощность множества А обозначается символом А.
Через C(X,Y) обозначается множество всех непрерывных отображений пространства X в пространство У. Множество С(Х, R) обозначается С(X). Подмножество множества С(Х), состоящее из всех ограниченных функций, обозначается С*(X). Через С1_(Х) обозначается подмножество С*(А), состоящее из всех неотрицательнозначных функций.
Знак □ ставится в конце доказательства утверждения, либо после формулировки, если доказательство не является необходимым.
ы,>

В диссертации исследуются тихоновские пространства при помощи топологических, линейных топологических и равномерных пространств непрерывных функций со значением в специальных подмножествах действительных чисел. Нас интересует вопрос: какие свойства пространства X определяются множеством всех непрерывных отображений из X в К (или некоторым его подмножеством), наделенным той или иной структурой (как топологической так и алгебраической). Рассматривая эту задачу, мы видим, что пространства X и С(Х,Б), где 5 С К, не равноправны: в то время как на X есть только топологическая структура, в С{X, 5) имеют место естественные аналоги всех непрерывных алгебраических операций, определенных в 5. Это открывает возможность ’’сортировать” свойства пространства X в соответствии с тем, какими тополого-алгебраическими свойствами они определяются.
Так, согласно результату Гельфанда и Колмогорова [9], для того, чтобы два бикомпакных пространства X и У были гомеоморфны необходимо и достаточно, чтобы кольца С(Х) и С (У) были алгебраически изоморфны. Более того, Гиллман и Джерисон [12] доказали, что из алгебраического изоморфизма колец С(Х) и С (У) следует гомеоморфность хьюиттов-ских расширений иХ и рУ пространств X и У.
Если кольцо С(Х) наделить топологией равномерной сходимости, и рассмотреть полные подкольца этого топологического кольца, то при их помощи можно описать все бикомпактификации пространства X (теорема Стоуна - Гельфанда - Колмогорова) см., например, [32], 3.12.21 (е)], [10], в том числе и стоун-чеховскую бикомпактификацию.
Преимущество топологии поточечной сходимости отражено в фунда-

Лемма 3.1. Если непрерывные отображения /: X —> У и д: У —> Д Б-эквивалентны и 5 С то существует система гомеоморфизмов у. тХ{у) —» тУ(У), V € 0 такая, что следующая диаграмма коммутативна:
У ■ тХ(У)
ч Ч (1)
тУ тУ(У)
Доказательство. Пусть УСЕ — открытое множество. Из 5'-:ж в и валентности отображений /иди замечания 3.1 следует, что существуют 5-изоморфизмы
а:Ср{тУ,3)->Ср(тХ,3),
(2)
ау. Ср(тУ(У),3) У Ср(тХ(У),3) такие, что следующая диаграмма коммутативна:
Ср(тХ,3) т*2/> Ср(тХ(У), 5)
(3)
СР(тУ, 5) Ср(гУ(У),5)
Здесь г?У2/ = {тгугр)*, тЗУгд = Из (2), теоремы 2.3 следует,
что существуют гомеоморфизмы А: X —> У, Ау: АГ(У) —> У (У), удовлетворяющие условию (*) теоремы 2.3. Докажем, что диаграмма (1), где г = А, коммутативна. Пусть х € тХ(У),
Ау(я) = У, тщг/(.х) = х',
тгугд{у)
{х') = 7/2Нам нужно показать, что у% = уо. Предположим, ц ф у-}. Так как тУ — 5-тихоновское пространство, найдется функция к Е Ср(тУ, 5) такая, что