Мультиварифолды и многомерные вариационные задачи на римановых многообразиях

• Автор: Дао Чонг Тхи, 0
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 262 c. : ил

I* Классические постановки задачи Плато и

стратифицированные поверхности

2. Функциональный язык мультиварифолдов

3. Общая методика нахождения глобально минимальных поверхностей

4. Формулировка основных теорем и схема их доказательства

5. Краткое содержание глав

ГЛАВА I. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ И МУЛЬТИВАРИФОЛ-

§ I. Классические направления вариационных задач

1.1. Классическое вариационное исчисление

1.2. Классическая двумерная задача Плато

§ 2. Многомерные вариационные задачи
2.1. Классические постановки многомерных вариационных задач и классические многомерные задачи
Плато
2.2. Частичные вырождения у минимальных отображений и невозможность использования функционала Дирихле в многомерном случае
2.3. Современные постановки задачи Плато на языке теории гомологий
2.4. Введение стратифицированных поверхностей и классическая постановка задачи Плато А на
языке теории бордиэмов
2.5. Функционалы типа к - мерного объема
§ 3. Функциональный язык мультиварифолдов
3.1. Определение мультиварифолда
3.2. Структура мультиварифолда
3.3. Массы и носители мультиварифолда
3.4. Спрямляемые мультиварифолды
3.5. Интегранды

Глава IV. ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАВДОВ В КЛАССАХ ПАРАМЕТРИЗАЦИЙ И ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ МУЛЬТИВАРШОЛДОВ
§ I. Теорема о деформации
1.1. Оценки мультимасс мультиварифолдов при отображении
1.2. Теорема о деформации
§ 2, Изопериметрические неравенства
§ 3. Постановка вариационных задач в классах параметризаций и параметризованных мультиварифолдов
3.1« Краевые условия
3.2. Параметризации-решения и мультиварифолды-решения
3.3. Вариационные классы
3.4. Формулировка общей вариационной задачи 169 § 4. Существование и свойства минимальных параметризаций и параметризованных мультиварифолдов •»
4.1. Полунепрерывность обобщенных интеграндов
4.2. Теоремы существования минимальных решений
4.3. Структура множества минимальных решений
Глава V. КРИТЕРИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ
§ I. Постановка задачи на функциональном языке потоков
1.1. Понятия глобально минимальных потоков
1.2. Современный анализ классического алгоритма Гюйгенса
1.3. Выпуклые функционалы и теорема Хана-Банаха
§ 2. Обобщенные формы и их свойства
§ 3. Условия глобальной минимальности потоков
3.1. Современные "уравнение" Эйлера и алгоритм
Гюйгенса
3.2. Выпуклый случай
3.3. Случай с интеграндами
§ 4, Глобально минимальные потоки симметричных задач
4.1. Задачи с инвариантными функционалами
4.2. Задачи с ковариантно постоянными лагранжианами

Определение 3.6. Абсолютным носителем мультиварифолда V£ 77ц OfG называется образ носителя меры V при проекции
Р расслоения бг^ОТб . Абсолютный носитель о-мерного страта Vй мультиварифолда V называется его абсолютным Ь-носителем. Абсолютные носитель и I - носитель V обозначим соответственно через spt*^ и spt*
Следует тщательно отличать носитель и абсолютный носитель мультиварифолда V от носителя меры V , а также их между собой. Первые два множества содержатся в 0Т6 , а третье л В » Кроме того справедливы соотношения
sptVc и sp+:Vc; U spt* spt*V . О.?)
1= о С~°
Множество в соотношении (3.7) вообще не совпадают. В частности, ненулевые мультиварифолда могут иметь пустые носитель и I -носители (о 4 С ^ к ) . Если же V есть положительный муль-тиварифолд, то включения в (3.7) превращаются в равенства
SptV = U Spt^V = U Spt*V = spt*V . (3.8)
i=o 1=°
Легко установить, что в примере I sptjUx
если §Л,(Л)^0 и Spt|Ux = ^> если fu(l)=0, а Spt(U.ac=-['xj
если pi=ffcO и spt JU^ä ф если 14 = 0 ; в примере
spt [S] = брад = spt^ [S] = spt*[s] = <3 ; в примере
spt [к] = spt* [К] = К » а sp+^Kj-spt^K]-
это замыкание объединения всех I - мерных симплекоов из К , не входящих в грани никакого С 1^ 1) - мерного симплекса в К
Используя свойство продолжения мер с компактным носителем (см.приложение I), можно продолжать каждый мультиварифолд V 6 7/^ /У0о Д° линейного функционала над векторным про-