Геометрия минимальных сетей в пространствах ограниченной кривизны в смысле А.Д. Александрова

• Автор: Завальнюк, Евгений Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 53 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Определения и предварительные результаты
1.1 Пространства ограниченной кривизны
1.1.1 Определения и свойства
1.1.2 Примеры пространств ограниченной кривизны
1.2 Проблема Штейнера
1.2.1 Деревья Штейнера и отношение Штейнера
1.2.2 Минимальные сети
1.2.3 Локально минимальные сети
2 Локальная структура минимальных сетей в пространствах ограниченной кривизны
2.1 Достаточное условие существования минимальных сетей
2.2 Теорема о локальной структуре минимальных сетей в пространствах с кривизной, ограниченной сверху
2.2.1 Вспомогательные леммы о треугольниках на сфере
2.2.2 Доказательство теоремы
2.2.3 Следствия
3 Отношение Штейнера поверхностей Адамара
3.1 Поверхности Александрова и поверхности Адамара
3.1.1 Продолжимость кратчайших па поверхностях Адамара .
3.1.2 Полный угол на поверхностях Адамара
3.1.3 Пример точек Штейнера сколь угодно большой степени .
3.2 Теорема об отношении Штейнера неограниченных поверхностен Адамара кривизны < к <
3.2.1 Частный случай: гиперболические плоскости
3.2.2 Доказательство теоремы
Литература
Введение
Диссертация посвящена минимальным деревьям Штейнера и отношению Штейнера в пространствах А. Д. Александрова. Исследуется устройство минимальных сетей в случае пространств ограниченной сверху кривизны (глава 2). и вычисляется отношение Штейнера для полных односвязных неограниченных поверхностей Александрова кривизны не больше к < 0 (глава 3).
Простейший вариант проблемы Штейнера, известный как задача Ферма, был решен в XVII веке Б. Кавальери и Э. Торичелли. В 1836 г. К. Гаусс (см. [1]) затрагивает данную проблему, решая практическую задачу проектирования железной дороги, соединяющей четыре немецких города. В XX веке благодаря работе Р. Куранта и Г. Робинса (см. [2]) проблема Штейнера получила широкую известность.
Проблема Штейнера формулируется следующим образом. Пусть (X. р) — метрическое пространство. Графом в метрическом пространстве (АГ,р) называется взвешенный граф б? = (К, Е,ш). у которого множество вершин V содержится в Л" и весовая функция и совпадает с метрикой р, т.е. ш(е) = р(и. и) для е = ии Е Е. В таком случае величину и{е) принято называть длиной ребра е. Длину ребра также удобно обозначать, пользуясь метрикой самого пространства: р(е). Длиной графа С называется сумма длин входящих в него
ребер: р(0 = Еееь'Р(е)-
Пусть теперь М С X — конечное множество. Рассмотрим всевозможные связные графы в X. множество вершин которых содержит М. н обозначим через эгиДЛ/) точную нижнюю грань их длин. Если среди этих графов найдется граф длины втД^/). то он является деревом и называется мини-
Рис. 2.1: Треугольники сравнения на Р#.
27Г/3 — 0.5(5. Пусть АГр{х)рг{х) С Рк - треугольник сравнения для треугольника Aqi(x)pr(x). Так как |çi(æ)ri(я:)|а- = qi(x)ri(x) < 2rc sinсу = | Таким образом, в обоих случаях мы нашли такие точки q 6 [pq], r € рг. pqi = |pri| = х, что соответствующий треугольник сравнения Aqpfi С Ру имеет угол Z(][pfi < 2/т/З. Лемма доказана. □
Доказательство теоремы 5. Обозначим через Т дерево Штейнера, соответствующее минимальной сети Г. Пусть [pq] и [рг] — ребра сети Г, стыкующиеся в точке р иод углом в. Докажем, что в > 27г/3. Предположим противное, т.е. что в < 2тт/3. По лемме 5 найдутся точки ср €Е pq], г е [рг], pqi = рп, что соответствующий треугольник сравнения AcppFi С Р^ имеет угол /.qipri < 27г/3. Пусть sus — середины [51 ri] 11 [çifi] соответственно. Условие сравнения треугольников Apqp'i и Арсрг дает ps < psk1- Пусть p'q[s'f[ С Рк1 — четырехугольник, составленный из треугольников сравнения Дp'q[s' и Ар'г[ё' для треугольников Apcps и Apips соответственно. Тогда, в частности, p'q[k' = Р'г[р = х, к/'ДД' = КйДн
Рассмотрим такую точку s" на отрезке рё]. что ps''k> = ps = ÿs'k'. Поскольку треугольник Асррг равнобедренный, то /.(psp = Агёр = Рассмотрим треугольник Aqs"s и докажем, что qië"k' > |gi%'. В случае к < 0 неравенство верно, поскольку треугольник плоский: в случае А* > 0 в силу