О геометрии конформных инвариантов некоторых классов почти контактных метрических структур

• Автор: Ускорев, Илья Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Основные понятия и определения

§1. Определение Л С-структуры. Адаптированный репер

§2. Структурные уравнения АС-структуры

Глава 2. Структурные тензоры АС-структуры и их преобразование при конформном преобразовании структуры

§1. Структурные тензоры АС-структуры и их преобразование

§2. Инвариантность структурных тензоров

§3. Нормальные АС-многообразия

Глава 3. Тензор Вейля для основных типов многообразий

§1. Определение и свойства тензора Вейля

§2. Спектр тензора Вейля для сасакиева многообразия
§3. Спектр тензора Вейля для косимплектического многообразия
§4. Спектр тензора Вейля для многообразия Кенмоцу
Список литературы

Введение
Актуальность
Как известно существуют три основных подхода к геометрии:
1. Синтетический (Евклид)
2. Групповой (Д. Гильберт)
3. Полевой (Б. Риман)
Первые два подхода мы рассматривать не будем. Остановимся на полевом методе. Согласно этому методу, геометрия задаётся полевой величиной ("геометрической структурой") на многообразии М. Первым важнейшим примером такой геометрии явилась риманова. геометрия, задаваемая римановой метрикой - полем скалярных произведений в касательных пространствах. В своих исследованиях Г.Вейль получил, что по аналогии с римановой геометрией можно рассматривать геометрии, которые задаются другими геометрическими структурами, и развил геометрию пространства линейной связности, задаваемую некоторой геометрической структурой - линейной связностью.
Большой вклад в развитие теории внёс Э.Картан, который определил и исследовал ряд новых типов геометрий, задаваемых различными геометрическими структурами. Он обнаружил, что с каждой из этих геометрий связана некоторая группа, действующая в многообразии кореперов. Э.Картан также развил общий метод изучения таких геометрий, основанный на выборе специальной неголономной системы координат - поля кореперов и рассмотрении продолжений. Данный метод называют "метод подвижного репера".
Класс геометрий, определяемых геометрическими структурами, к которым применим метод подвижного репера Картана, определил С. Черн. Подобные геометрические структуры можно охарактеризовать некоторой

группой (3 и описать в терминах главных (3-расслоений кореперов. Черн назвал эти геометрические структуры (3-структурами и развил их теорию, которая является вариантом метода подвижного репера Картана в инвариантном изложении.
Саму теорию (3-структур можно рассматривать как синтез группового подхода Клейна и полевого подхода Римана. Большинство изучаемых в дифференциальной геометрии структур(риманову. псевдориманову, (почти)симплектическую, (почти) комплексную, кэлерову, кватернионную, афинпую, проективную, флаговою, конформную и т.д.) можно рассматривать как (3-структуры. Общие методы, развитые в теории (3-структур, позволяют с единых позиций исследовать разнообразные геометрические структуры.
Основные геометрические задачи, решаемые в рамках теории С-структур можно сформулировать так:
1. Описание структуры группы автоморфизмов;
2. Классификация геометрических структур с максимальной группой автоморфизмов;
3. Построение полного набора дифференциальных инвариантов до порядка к, полностью описывающих дифференциально геометрическую окрестность порядка к данной структуры;
4. Проблема эквивалентности, а именно, нахождение необходимых и достаточных условий эквивалентности геометрических структур, и проблема интегрируемости - нахождение условий эквивалентности данной геометрической структуры стандартной плоской структуре;
5. Проблема модулей - описание классов эквивалентных (3-структур.
В настоящем исследовании примененен метод подвижного репера с целью определения условий нахождение необходимых и достаточных условий эквивалентности рассматриваемых дифференциально геометрических структур.

В дальнейшем мы будем использовать введённые обозначения.
Итак, продолжим. Выясним при каких условиях тензоры В, Е и С будут являться какими-либо инвариантами.
Тензор С будет относительным инвариантом тогда и только тогда, когда Ф2(<т*) = 0, что равносильно условию а* Є ЯЛ.
Тензор Е будет относительным инвариантом тогда и только тогда, когда с?сг(£)(ФХ) = 0, что равносильно {сг,£) — 0 или по другому т'Т.ф а значит Д Є £.
Тензор В будет абсолютным инвариантом в том и только том случае, когда будет справедливо тождество (Ф2У, Х}Ф2(<7&) — (ФУ, Х)Ф(сг) — - (2ст(Ф2Х)(Ф2У) - с1ст(ФХ)(ФУ)
Теорема 1. Тензор В - абсолютный инвариант при конформном преобразовании ЛС-структуры тогда и только тогда, когда Д Є ЯЛ.
Доказательство:
Тензор В - абсолютный инвариант В — В -ФФ- (Ф2У, Х)Ф2(Ф*) — (ФУ,Х)Ф(ст*) - йа(Ф2Х)(Ф2У) - с1а{ФХ){ФУ) = 0 «
(Ф2У, Х)Ф2{а*) - (ФУ, Х)Ф(а#) = ёа(Ф2Х){Ф2У) У <&т(ФХ)(ФУ) (2)
Поменяем ролями X и У, заметив, что (Ф2У, X) — (У, Ф2Х), а
(ФУ,Х) = -{У, ФХ). Тогда
(Ф2У, Х)Ф2() + (ФУ, Х)Ф(ста) = йсг(Ф2У)(Ф2Х) + Ла{ ФУ)(ФХ) (3)
Сложим почленно (2) и (3):
2(Ф2У, Х)Ф2(сг$) = с1о(Ф2Х)(Ф2У) У Ф2У)(Ф2Х)у
+(1сг{ФХ) (ФУ) У <*т(ФУ) {ФХ) (4)
Положим У = X. Тогда (4) примет вид:
Н|ФХ||2Ф2(а#) = с1(т{Ф2Х){Ф2Х) У й(у{ФХ){ФХ)
Пусть X Є £ : ||Х|| = 1. Тогда