Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками

• Автор: Оскорбин, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Исследование спектра операторов одномерной и секционной кривизн на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой
1.1. Однородные и римановы многообразия. Метрические группы Ли. Операторы кривизны на римановых многообразиях
1.2. Спектр оператора одномерной кривизны на трехмерных метрических группах Ли
1.3. Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли
1.4. Оценки функции 5 - загцемленности секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли
1.5. Сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли
1.6. Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных локально однородных римановых многообразиях
Глава 2. Спектр операторов секционной кривизны, одномерной кривизны и кривизны Риччи конформно плоских метрических групп Ли
2.1. Свойство спектра операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны конформно плоских метрических групп Ли
2.2. Конформно плоские группы Ли с главными значениями оператора кривизны разных кратностей

2.3. Спектр оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли
2.4. Четырехмерные торповы и антиторповы римановы многообразия
Глава 3. Вычисление инвариантных тензорных полей на метрических группах Ли с помощью обобщенных базисов Дж. Мил-нора
3.1. Базисы Дж. Милнора
3.2. Пространство орбит левоинвариантных римановых метрик групп

3.3. Обобщенные базисы Дж. Милнора для четырехмерных метрических алгебр Ли
3.4. Спектры операторов кривизны некоторых четырехмерных групп
Ли с левоинвариантиой римановой метрикой
3.5. Однородные солитоны Риччи на четырехмерных метрических группах Ли
Заключение
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

Введение
Актуальность избранной темы и степень ее разработанности. Известно, что кривизна риманова многообразия влияет на его геометрию и топологию и наоборот. Примерами этого являются теорема Адамара-Картана о полном односвязном римановом многообразии неположительной секционной кривизны [1], теорема М. Громова о римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи, теорема о сфере (см. подробнее в [2]), теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова-В.А. Топоногова [1], иссследования Дж. Милнора [3] по кривизнам левоинвариантных римановых метрик на группах Ли и ряд других результатов.
В случае однородных пространств знак кривизны дает более полную информацию о геометрии и топологии пространства. Так, например, теорема Бохнера [4] утверждает, что однородное риманово многообразие отрицательной кривизны Риччи некомпактно. Исследование связи между кривизной Риччи и топологией однородного риманова пространства представлено в работах Дж. Милнора [3], В.Н.Берестовского [5], а в случае одномерной кривизны - в работах Е.Д.Родионова, В.В.Славского [6]. Спектр оператора Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками исследован в работе Дж. Милнора [3], где он показал, что спектр оператора Риччи таких групп не может иметь сигнатур (+,+,—),(+,+, 0), 0). Трехмерные локально од-
нородные римановы многообразия с предписанным спектром оператора Риччи исследованы О. Ковальским и С. Никшевич [7]. Сигнатуры спектра оператора Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариатной римановой метрикой определены А.В.Кремлевым и Ю.Г.Никоноровым [8, 9].
В работах М. Берже [10], Н. Уоллача [11], Л. Бержери [11] получена классификация. с точностью до диффеоморфизмов, однородных пространств, допускающих инвариантные римановы метрики положительной секционной кривизны. В. Циллер [12], Ф. Валиев [13], Т.Путман [14] получили ряд результатов об одно-

В области Гф и на участках границы Гд получаем: Д2 + 1 =
(Л1+л2-АзХЛ1-л2+л3) < ПОСКОЛЬКу 0-31 > р. откуда 8 < —1.
Сужение функции 5(А1,А2,Ад) на Гд можно представить в виде: 8(АД = 16Л1—20А?—3 4 г
(1-2Л1)2 > ее пР0ИЗВ°Дная равна (1_2Л1)2; П0ЭТ0МУ 0 ~ защемленность принимает на все значения в (—3; —1).
Покажем, что в области Гф выполнено неравенство ^ + 3 > 0. Действительно, поскольку 0 < А1 < А2 < — Ат, то
2А| - А2 < 2\ - Аь Фд + д _ (2А^ — АД - (4А^ - 2А2) ^ ~(2А| - А2) ^ ^
ФИ (031 (
В области Гф выполняются неравенства:
Аз < А1 + А2,
<012 < Ф31 ^ сг23,
поскольку
<023 — <031 = (А2 — А1) (А1 + А2 — Аз) ^ 0,
031 — 0"12 = (Аз — А2)(А2 + Аз — АД > 0,

В области Г2" получаем:
<012 , _ (А1 + А2 — Аз)(Ах — А2 — Аз)
<023 “2(
^ < 1 ^ -Ц

Сужение функции 5(А1,А2,Аз) на Гд можно представить в виде: <5(АД = ^2> ее производная равна , поэтому 8 - защемленность принимает на
Гд все значения в ( — 1; 1].
8 — 1 при (712 — (72з = (Аз - АД(А1 + А3 — А2) = 0, что эквивалентно = Л2 = А3. Секционная кривизна при этом постоянна и равна |АД
На множестве Г5 выполнены равенства —<712 = <023 = <031 — — А^ + Х, 5 = — 1. Лемма доказана. ■