Геометрия отображений в евклидово пространство

• Автор: Богатый, Семеон Антонович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 214 с. : ил

Оглавление.
Введение

Глава I. Динамика отображений (точки совпадения, их индексы)

§1. Индексы неподвижной точки непрерывного отображения

§2. Индексы неподвижной точки гладкого отображения

§3. Индексы неподвижной точки голоморфного отображения

§4. Индексы неподвижной точки и итеративные корни

§5. Итеративные корни, сопряженность, включение в поток

§б. Гильбертов куб и аменабельность группы

Глава II. Вокруг теоремы Борсука-Улама

§7. Теорема Люстерника-Шнирельмана. и /?/
§8. Частичные склеивания орбит
§9. Конфигурации на сфере
Глава III. Геометрия отображений в евклидово пространство
§10. Множества в сильно общем положении
§11. Регулярно ветвящиеся отображения
§12. Обращение теоремы Гуревича для полиэдров
§13. Проблемы Гуревича и Нёбелинга
§14. Обращение теоремы существования для полиэдров
§15. Когомологическая размерность
§16. ^-регулярные отображения и задача Борсука Болтянского
Глава IV. Геометрия выпуклых подмножеств
§17. Вокруг теоремы Хелли
§18. Задача Радо
§19. Задача Веста
§20. Задача Терасавы
Список литературы

Введение.
Классическая теорема Нёбелинга-Понтрягина-Лефшеца (доказанная в одномерном случае также Менгером) о вложении утверждает, что всякий компакт X размерности dimX = п вкладывается в (2п + 1)-м.ерное евклидово пространство R2n+1. Обычно в монографиях по теории размерности теорема вложения дается в более сильной формулировке В. Гуревича [168; 169]. Множество всех вложений п-мерного компактного пространства X в т-мерное евклидово пространство Rm при т > 2n + 1 всюду плотно в пространстве С(Х,Ж.т) всех непрерывных отображений компакта X в Rm. Для усиленной теоремы вложения справедливо обращение. Рассмотрим условия:
(1) т > 2п + 1.
(2) Множество вложений £(Х, Rm) компакта X в Rm всюду плотно в пространстве С(Х, Rm) всех непрерывных отображений X в Rm.
Для всякого п-мерного полиэдра Р справедлива обратная импликация (2) => (1). Мак Каллоу и Рубин первыми показали [196], что для общих компактов импликация (2) =£■ (1) неверна. Усилиями большой группы математиков было показано [188; 46; 128-131; 250-252], что для произвольного п-мерного компакта X имеет место эквивалентность (2) т > dimX2 + 1.
В условии (1) коэффициент при п равен 2, поэтому вариации чисел тип не эквивалентны. В. Гуревичем для общего компакта была сформулирована следующая гипотеза, обращения [168, стр. 400].
”Мне кажется очень вероятным, что n-мерные компакты характеризуются тем что множество их вложений в Ж2п+1 плотно в пространстве С(Х, R2n+1).”
С помощью теорем Бокштейна Кузьминова [21; 56] и Дранишникова-Веста [131] дано доказателство гипотезы Гуревича. Для компакта X имеет место условие (2) с т = 2n + 1 <=> dimX < п (следствие 13.1).
Обращение теоремы существования вложения не может быть справедливо на уровне произвольного индивидуального компакта. Например, п-мерный куб 1п вкладывается в Rn. Ва.н Кампен и Флорес показали [179; 148], что теорема существования вложения обратима, т.е. неулучшаема на уровне всех компактов.
Пусть Д* это n-мерный остов iV-мерного симплекса AN.
Теорема ван Кампена—Флореса. Следующие условия эквивалентны:
(1) m > 2п + 1.
(2) Множество вложений £(A2n+2,Rm) непусто.
Всякий n-мерный полиэдр Р является подполиэдром д£ где N равно уменьшенному на 1 числу вершин полиэдра Р. В этом смысле всякое препятствие, проявляющееся на некотором n-мерном полиэдре, проявляется на полиэдрах Д* для достаточно больших N.
Итак, при m < 2п не всякий полиэдр обладает вложением в Rm и ни для какого полиэдра множество вложений не плотно. Это означает, что при m < 2п в качестве ’’хороших” надо рассматривать другие отображения. Такой
класс ”максимально экономичных” отображений ввел В. Гуревич [169]. Для отображения /:1->Уи всякого q > 0 рассмотрим подмножество Bq(f) С У:
вя(Л = {у е > ?}.
Отображение / называется регулярно ветвящимся [128], earn для всякого ^ > 1 имеет место неравенство
dim Bq(f) < q dim X — {q — 1) dim Y — dim Y — g(dim Y — dimX)
= dimX ~ (q — l)(dimF — dimX).
Очевидно, что при 2 dim X + 1 < dim Y всякое регулярно ветвящееся отображение является вложением. Кроме того, если dim X + 1 < dim У, то всякое регулярно ветвящееся отображение имеет кратность < dim X + 1. Для регулярно ветвящегося отображения / справедливо также неравенство dim f{X) < dimX.
Теорема Гуревича. Если т > dimX + 1, то множество всех регулярно ветвящихся отображений ЩХ, Rm) компакта X в Rm содержит всюду плотное в пространстве С(Х, Rm) множество типа Gs-
Мы показываем, что при m > dim X + 3 из теоремы Дранишникова [127] вытекает возможность замены в теореме Гуревича в условии (Н>} числа 2dimX на не большее число dimX2 (теорема 11.2). При гп = dimX + 1 такая замена невозможна (следствие 15.4, теорема 15.5).
Для любых целых чисел д> 1иг > -1 рассмотрим в С(Х, У) подмножество M,AX,Y) всех таких отображений, для которых имеет место неравенство dim Bg(f) < г. Так как при q dim X — ( Если числа n = dimX, m, q и г удовлетворяют неравенству qn < (g — l)m + г,
то множество Rm) всюду плотно е пространстве С(Х, Rm).
В случае полиэдра X мы доказываем обращение ослабленного варианта теоремы Гуревича при произвольных числах q и г (следствие 12.5). Обращение ослабленного варианта теоремы Гуревича для полиэдральных пространств получено в работе с помощью понятия подмножества Жт. находящегося в сильно общем положении (§10). Рассмотрение подмножеств Rm, находящихся в сильно общем положении, позволило дать простое доказательство теоремы о размерности пересечения образов общих отображений (теорема 10.12) и получить некоторое усиление теоремы Тверберг (теорема 12.7, следствие 12.8).
В реферате [212] на статью Гуревича Нёбелинг сформулировал гипотезу, превращающуюся в гипотезу Гуревича при г = —1.
”Вероятно для компакта X неравенство dimX < п равносильно (при заданном числе г, — 1 < г < п — 1) плотности в пространстве С(Х, R2ra_r) подмножества всех конечнократных отображений из АГ2,г{Х, R2n_r).”
Теорема Бернштейна-Кушниренко-Хованского, Если многоугольники Ньютона Г1 и Г<2 компонент д и д-2, соответственно, удобные (пересекают обе координатные оси), то кратность //. изолированного нуля отображения G не меньше, чем
£(*! IY+ Щ - S(R2+ Г1) - S(K^ г»),
где 5(КД. Г) обозначает площадь (невыпуклой) области между нулем и границей многоугольника Г в положительном квадранте IR^., а Г} + Г2 означает сумму по Минковскому многоугольников Г1 иТ2. Причем, если многоугольники Tj и Г2 не имеют параллельных ребер, то вышеуказанное неравенство превращается в равенство.
Замечание 3.10. В условиях теоремы равенство имеет место и в том случае, когда суммы мономов (со старыми коэффициентами) компонент, отвечающих параллельным ребрам, не имеют общих корней вне координатных прямых.
Отметим сразу же, что изолированност,ь неподвижной точки эквивалентна конечно мерно сти пространства Qc _f [69].
Теорема 3.11. Индексы (алгебраические кратности) неподвижной точки голоморфного отображения в С2, изолированной при всех итерациях, имеют один из следующих типов:
(1) ind(/n,ar) = 1 для всех п при А = {0};
(2) ind(/n,a:) = А для всех п для некоторого А > 2 - при А = {1} ,*
для d /п L A Add для dn для некоторого Ad > 1 — при А = {d}, где d > 2;
А ] для d j(n
Ai + Add для dn для некоторых А > 2, Aa > 1 - при А = (1, d};
( 1 для dj п
(5) ind(fn,x) = < 1 + Adph для djn, d2 In
( 1 + Ad, d + Ad2d2 для d2 |n
для некоторых Ad: ’Ad2 ^ 1 -при A = {d, d2}. где 2 < dj = gcd(di,d2) ф d2;
1 для di In, d2 jn
1 + Adyd для din, d2 n
1 + Ad2d2 для d /n, d2n
[ 1 + Ad, d + Aj.pio + Aicmfijj(i3) lcm(di, d2) для di |n, d2 n
для некоторых Adi )Ad~, > 1, — min{2,gcd(di, d2)} - при A =
{di,d2}, где di ф gcd(di,d2) Ф Лемма 3.12. Если собственными значениями неподвижной точки голоморфного отображения С2, изолированной при всех итерациях, являются корень из
(3) ind(/n для не
(4) md(/«

(6) ind(j