Решение многогранников: теоретические и вычислительные аспекты

• Автор: Михалев, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил

Оглавление
Введение
1. Метрические октаэдры Брикара 1-го и 2-го типа и их реализуемость в Д
1.1. Постановка задачи
1.2. Реализуемость положительных корней многочленов для объёма октаэдров Брикара 1-го и 2-го типа
1.3. К вопросу о выпуклости изометрической реализации с максимальным объемом
2. Компьютерные методы решения многогранников
2.1. Программа для решения задачи изометрической реализации
(по алгоритму Сабитова)
2.2. Некоторые необходимые метрические условия изгибаемости подвесок
3. Об одном методе решения задачи изометрической реализации развёрток
3.1. Задача изометрической реализации развёртки и методы ее решения
3.2. Понятие 5-комплекса и некоторые свойства 5-комплексов
3.3. Системы уравнений для решения задачи изометрической реализации
3.4. Об алгоритмическом решении задачи изометрической реализации
3.5. Примеры применения предложенного метода решения задачи изометрической реализации
Список литературы

Введение
В той области геометрии, которая раньше называлась ” геометрией в целом”, а теперь все чаще называется метрической геометрией, основными являются следующие вопросы:
1) Изучение многообразий с метриками, т.е. римановых многообразий и многообразий с многогранными метриками. (Этот круг вопросов составляет предмет внутренней геометрии поверхностей.)
2) Изометрические реализации заданных многообразий с метриками в евклидовых или других римановых пространствах.
3) Изгибания данных поверхностей и многогранников.
4) Различные свойства данных поверхностей и многогранников в целом. (Этот круг вопросов составляет предмет внешней геометрии поверхностей.)
В известном смысле второй и третий вопросы являются связующим звеном между первым и четвертым вопросами; в дифференциальных уравнениях и других областях математики второму и третьему вопросам соответствуют вопросы существования и единственности искомых объектов.
По каждому из перечисленных направлений имеются многочисленные результаты, нашедшие отражение в обширной литературе. Среди геометров, внесших наиболее значительный вклад в геометрию в целом, можно назвать таких классиков как А.Лежандр, О.Коши, Д.Гильберт, Г.Либман, В.Бляшке, С.Э.Кон-Фоссен, Г.Минковский, А.Д.Александров, Н.В.Ефимов,
А.В.Погорелов, Ю.Г.Решетняк и др.
Наша диссертационная работа посвящена главным образом второму и третьему вопросам, связанным с изометрическими реализациями многогранных метрик и изгибаниями многогранников.
В метрической теории многогранников имеется ряд важных принципиальных достижений, среди которых, несомненно, заслуживают упоминания такие классические результаты, как теорема Коши об однозначной определённости выпуклого многогранника своей метрикой, доказательство Брикара существования изгибаемых многогранников с треугольными гранями, теорема Александрова о реализуемости в виде многогранника всякой заданной на сфере многогранной метрики положительной кривизны и др.

Вместе с тем, в данной области геометрии имеется большое количество задач, далеких от полного решения, или не решённых вовсе; многие вопросы остаются нерешёнными в течении десятилетий. Показательным примером является история проблемы кузнечных мехов.
С момента построения Брикаром в 1897 году его изгибаемых (имеющих самопересечения) октаэдров ( [17]; см. также [20] и — на русском языке — [11]) на протяжении 80 лет не было известно ни одного примера вложенного изгибаемого многогранника. В 1978 г. такой пример был построен Коннелли (см. [18]).
Вскоре было замечено, что изгибаемый многогранник Коннелли, а также все построенные после него изгибаемые многогранники обладают следующим замечательным свойством: их объём в ходе изгибания остаётся неизменным. Это дало Коннелли основание в своём докладе на Математическом Конгрессе в Хельсинки в 1978 г. высказать так называемую гипотезу кузнечных мехов (’’Bellows Conjecture”), состоящую в том, что свойство неизменности объёма является общим для всех изгибаемых многогранников; образно это можно сформулировать как невозможность изготовить идеально точные кузнечные меха из изгибаемых многогранников.
Проблема кузнечных мехов оставалась нерешённой в течение почти 20 лет. Более того, не сущестовало не только доказательства справедливости гипотезы, но не было даже уверенности в том, что гипотеза справедлива. Многие математики, по-видимому, искали ее опровержение, но все попытки найти контрпримеры только подтверждали гипотезу (см., например, [2]).
Справедливость гипотезы кузнечных мехов была доказана И.Х.Сабитовым (см. [13, 14, 22]1). В этих работах доказывается даже более общая теорема, из которой справедливость гипотезы вытекает как простое ее следствие: для всякого многогранника (изгибаемого, или нет) устанавливается существование некоторого нетривиального полиномиального уравнения, такого, что его коэффициенты зависят только от комбинаторного строения и метрики данного многогранника, а объём этого многогранника является его корнем. Так как в ходе изгибания комбинаторное строение и метрика изгибаемого многогранника не меняются, то и объём, будучи
этих работах даются разные доказательства основной теоремы; в дальшейшем мы будем ссылаться только на работу [13], поскольку именно в [13] впервые появилось полное доказательство теоремы о многочлене для объёма многогранника (см. далее).

следовательно, уравнение (1.9) имеет два действительных (возможно, совпавших) корня; обозначим эти корни щ и «
Простая проверка показывает, что при надлежещей нумерации корней
Ут(/, И.-, е, С, Ь, (1) = Уг(е, и,-, /, с?, а, с) = г = 0,1. (1.10)
Отметим, что величины щ,и2, Р), 1/2 выражаются через а,Ь, с, й, е, / с помощью радикалов.
По условию Тд > 0; применяя лемму 1, аналогично тому, как это было сделано в доказательстве теоремы 1, заключаем, что > 0, и в й3 существуют тетраэдры IV АВИ, N ВС I), ЙЛЙ/), БВС В (см рис. 8, а; при каждом ребре стоит квадрат его длины).

Рис. 8.
Рассуждая дальше так же, как и при доказательстве теоремы 1, построим октаэдр NАВСйй (см рис. 8, б), являющийся изометрической реализацией развертки Л'),, такой, что
ЛС2_ -»1-2(6 + /)»! + (с-/)2 Лгс

— 2 (с + й)и + (с — (1у щ
Можно проверить, что объём этого октаэдра будет равен V). Теорема 2 тем самым доказана.