Геометрия и комбинаторика комплексов подслов и двойственных им многогранников

• Автор: Горский, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Оглавление
Введение

1.1. Благодарности

Предварительные сведения

2.1. Подразбиения ребер и 2—срезки

2.2. Группы Коксетера

2.3. 0-моноид Гекке

2.4. Колчаны

2.5. Комплексы подслов

Комплексы подслов и движения в 0-моноиде Гекке

3.1. Движения кос и подразбиения рёбер
3.2. Геометрия ниль-движений
Гнездящиеся пары кручения, кластерные комплексы стабильности и ассоциаздры стабильности
4.1. ' Пары кручения
4.2. Функции стабильности
4.3. Гнездящиеся семейства пар кручения и кластерные комплексы стабильности
4.4. Ассоциаздры стабильности
Тождества на квантовый дилогарифм
5.1. Квантовые аффинные пространства и тождества Райнеке
5.2. Колчан Кронекера
5.3. Инвариант Дональдсона-Томаса для колчанов с потенциалом
5.4. Примеры
5.5. Зелёные мутации и максимальные зелёные последовательности
Многогранники покрытий, нестоэдры и обобщённые ассоциаздры

6.1. Покрытия и производящие множества
6.2. Кольцо выпуклых многогранников и покрытия
6.3. Ассоциаэдры стабильности типа Ап и нестоэдры
6.4. Обобщённые ассоциаэдры серии И и многогранники покрытий
7. Обобщённые ассоциаэдры, триангуляции многоугольников и
срезки куба
Список литературы
1. Введение

Важнейшими объектами изучения в классических и современных разделах геометрии и перечислительной комбинаторики являются симплициальные комплексы и выпуклые многогранники. Наиболее интересные из них допускают одну или несколько интерпретаций в других областях математики: например, в алгебраической комбинаторике, в теории представлений или в алгебраической геометрии. Ярчайшим примером такого рода является серия ассоциаэдров, или многогранников Сташефа (в каждой размерности есть один такой многогранник). Число вершин п—мерного ассоциаэдра является (п + 1)—м числом Каталана. Эти числа нумеруют более сотни математических объектов различной природы, от триангуляций выпуклого (п + 3)—угольника до неразложимых представлений колчана типа Ап, см. [Stan]. Кроме того, многогранник Сташефа двойственен кластерному комплексу кластерной алгебры типа Ап, а отвечающее ему торическое многообразие тесно связано с компактификацией Делиня-Мамфорда M0j„+з пространства модулей стабильных кривых на сфере с (п + 3) отмеченными точками.
В последние годы были введены различные обобщения многогранников Сташефа, такие как нестоэдры, граф-ассоциэдры и обобщённые ассоциаэдры. В работе [CLS] С. Чсбальос, Ж.-Ф. Лаббе и К. Штумп показали, что двойственные обобщённым ассоциаэдрам комплексы являются частным случаем более широкого класса комплексов подслое. Последние были введены в 2004 году А.Кнутсоном и Э.Миллером. Данная диссертация посвящена исследованию различных комбинаторных и геометрических свойств комплексов подслов, а также интерпретаций этих свойств в терминах торической геометрии и теории представлений.
Изначально комплексы подслов были введены в контексте многочленов Шуберта и матричных многообразий Шуберта. Вскоре было замечено, что они представляют интерес с точки зрения комбинаторики групп Коксетера. Ком-

Доказательство. Согласно Факту 2.1, утверждение следует из Теоремы 3.2 и из существования изоморфизмов рс и фР. □
Следствие 3.4. Предположим, что (Ач) выполнено. Тогда
(г) если комплексы Дх и Д(<& я) флаговые, то же верно и для А2.
(и) если Гипотеза 2.1 верна для А и для Д(С^; 7г), гпо она верна и для А
Следствие 3.5. Рассмотрим любые два выражения (32 элемента С) € IV, связанные последовательностью В движений кос, каждое из которых удовлетворяет условиям Теоремы 3.2 или Теоремы 3.3. Для любого элемента 7Г € IV В задаёт последовательность подразбиений рёбер и обратных подразбиений рёбер, переводящую комплекс подслое Д^^тг) в комплекс Д((Д;7г).
Мы можем переформулировать полученные ранее результаты в терминах 2—срезок многогранников.
Теорема 3.5. Предположим, что либо оба условия (АД и (ВД выполнены, либо тц — 3, либо верно и то, и то. Предположим также, что Д1 и А2 допускают реализацию нерв-комплексами многогранников Р и Р2, соответственно. Тогда выполняется один из следующих вариантов :
(1) если оба условия (А2) и (В2) выполнены, то многогранники Р и Р2 комбинаторно изоморфны.
(2) если (А2) не выполнено, а (ВД выполнено, то многогранник Р может быть получен из многогранника Р2 последовательностью из (ту — 2) 2—срезок по С;
(3) если (Ач) выполнено, а (В2) не выполнено, то многогранник Р2 может быть получен из многогранника Р1 последовательностью из (гп^ — 2) 2—срезок по Т1;