Геометрия и топология спектральных задач

• Автор: Пенской, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 246 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Метрики, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами на замкнутых поверхностях

1.1 Введение

1.2 Минимальные подмногообразия в сферах и экстремальные

метрики

1.3 Тау-поверхности Лоусона и формулировка теоремы об их

экстремальных спектральных свойствах

1.4 Собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на тау-

поверхностях Лоусона и вспомогательная периодическая задача Штурма-Лиувилля

1.5 Уравнение Магнуса-Уинклера-Айнса и собственные числа

кратности
1.6 Уравнение Ламе
1.7 Окончание доказательства теоремы 1.3.2 об экстремальных
спектральных свойствах тау-поверхностей Лоусона
1.7.1 Случай двулистного накрытия тт^ лоусонова тора
1.7.2 Случай лоусоновых торов тт^

1.7.3 Случай лоусоновых бутылок Клейна тт^
1.8 Торы Оцуки и формулировка теоремы об их экстремальных свойствах
1.9 Теорема Сяна-Лоусона о редукции минимальных подмногообразий по действию группы
1.10 Торы Оцуки как пример минимального 80(2)-инвариантного подмногообразия кооднородности 1 в S
1.11 Доказательство теоремы 1.8.1 об экстремальных спектральных свойствах торов Оцуки
1.12 Различные конструкции торов, минимальных в сферах
I 1.13 Расширение семейств минимальных торов в сферах с помо-
* гцью теоремы Такахаси
1.14 Уравнение Ламе и теорема о построении трёхпараметрического семейства Та,6,с минимальных поверхностей в сфере, продолжающего двухпараметрическое семейство тау-поверхностей Лоусона, и его экстремальных свойствах
1.15 Бутылка Клейна
2 Топология изоспектральных подмногообразий
2.1 Введение
2.2 Система Вольтерра с нулевыми граничными условиями как градиентный поток
2.3 Топология изоспектрального многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю
Ч 3 Алгебро-геометрическая спектральная теория полудис-

кретного гиперболического оператора Шрёдингера и преобразование Лапласа
3.1 Введение
3.2 Преобразования Лапласа двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера и двумерная цепочка Тоды
3.3 Алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера: прямая спектральная задача
3.4 Алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера: обратная спектральная задача
3.5 Спектральные свойства преобразований Лапласа алгеброгеометрических двумерных полудискретных операторов Шрёдингера
4 Геометрия спектральной задачи и скобки Пуассона
4.1 Введение
4.2 Канонически сопряжённые переменные для системы Воль-терра с периодическими граничными условиями
4.3 Алгебро-геометрические скобки Пуассона для разностных операторов и система Вольтерра
4.4 Канонически сопряжённые переменные для периодического уравнения Камассы-Холма
Литература

любой аналитической деформации дг выполняется неравенство

«С 0.

і=о+ <а
Исследование экстремальных метрик оказалось полезным. Например, Якобсон, Надирашвили и Полтерович доказали в 2006 году в работе [34], что упомянутая выше метрика на бутылке Клейна, реализованной как биполярная поверхность Лоусона тзд, является экстремальной для Лі(ШЬ, д). Опираясь на этот результат, Эль Суфи, Джакомини и Жазар доказали в том же году в работе [18] упомянутый выше результат о том, что эта метрика является единственной экстремальной метрикой, а потому максимальной.
Как можно было ожидать, мы знаем больше про экстремальные метрики, чем про максимальные. К тому моменту, когда автор начал свои исследования в данной области, кроме упомянутых выше результатов были известны также следующие.
Во-первых, полностью изучены экстремальные метрики для ЛДТ2,#).
• Эль Суфи и Илиас в 2000 году в работе [19] доказали, что единственной экстремальной метрикой для АДТ2, д), отличной от уже упомянутой выше максимальной метрики на равностороннем торе, является метрика на клиффордовом торе, то есть на факторе евклидовой плоскости по квадратной решетке.
Заметим, что метрики на построенных автором поверхностях Тадс из теоремы 1.14.1 включают обе метрики, экстремальные для первого собственного числа на торе, то есть метрику на клиффордовом торе Пд = ТХ1^5, метрику на равностороннем торе АДд = Тщд, а также,