Некомпактные римановы пространства с группами голономии G2,Spin(7) и SU(2(n+1))

• Автор: Малькович, Евгений Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение

1 Определения

1.1 Группы голономии

1.2 3-сасакиевы многообразия

1.3 Орбифолды

2 Построение метрик С голономией Сг2

2.1 Описание Сг-структуры на конусе над твисторным пространством

2.2 Примеры

3 Построение метрик с голономией 5рт(7)

3.1 Описание 5рт(7)-структуры на конусе над

сасакиевым многообразием
3.2 Построение явных решений на М.
3.3 Анализ общей задачи существования решений на ЛІ2- • •
4 Построение метрик с голономией Зи(2[п+ 1))
4.1 Доказательство
Введение
Диссертация посвящена построению и исследованию метрик со специальными группами голономии. В данной диссертации были изучены вопросы существования метрик с группами голономии G2, Spin(7) и SU(2n). Была полностью проинтегрирована система, эквивалентная существованию параллельной (^-структуры на конусе над тви-сторным пространством семимерного З-Сасакиева многообразия Л4, чей кватернионно-кэлеров орбифолд обладает кэлеровой структурой; рассмотрены конкретные примеры. Полностью изучено поведение решений специального вида у системы, эквивалентной существованию параллельной 5рт(7)-структуры на конусе над М.] найдено однопараметрической семейство метрик, «соединяющее» восьмимерные метрики Кал аби, изучена топология пространств, на которых определены найденные метрики. Найденное семейство обобщено на случай произвольной размерности вида 4 (п + 1), изучена топология соответствующих пространств.
Группа голономии — это инвариант многообразия (риманова или псевдориманова), являющийся группой Ли и тесно связанный с геометрией данного многообразия. В 1955 году Берже доказал теорему, в которой перечислил все возможные группы голономии риманова многообразия. Среди этого списка выделяются группы G2 и Spin(7). метрики с соответствующими группами называются исключительными или экзотическими (exceptional). Достаточно долго стоял вопрос
о конкретных примерах метрик с данными группами голономии. Теорема существования компактных (определенных на компактном многообразии) экзотических метрик была доказана в 1996 году Джойсом [16]. Доказательство данной теоремы основано на довольно тонком аппарате специальных Соболевских пространств, но описать найденные метрики конструкция Джойса не позволяет. Ковалев построил пример метрик с группой голономии (?2 на связной сумме двух компактных многообразий, используя теорему о склейке для эллиптических уравнений. Данная теорема также основана на оценках в специальных Соболевских пространствах [19]. На данный момент примеры Джойса и Ковалева являются единственными примерами компактных многообразий с исключительными группами голономии.
Интерес к некомпактным примерам возник относительно недавно со стороны математической физики. Было предложено использование некомпактных метрик с группами голономии 5рт(7) в так называемой М-теории. В работах Гиббонса, Лю, Поупа, Светича, Канно и др. был построен ряд новых полных примеров, часть которых является не многообразиями, а орбифолдами. Все эти метрики автоматически являются Риччи-плоскими и асимптотически ведут себя как конусы, либо как произведения конусов на окружности (асимптотически локально конические — АЛК).
В частности, в работе [10] Светич, Гибонс, Лю и Поуп исследуют вопрос существования метрик с голономией 5рт(7) на конусе над семимерной сферой и над пространством Алоффа-Уоллаха; они изучают с помощью численных методов полученную систему дифференциальных уравнений и получают некоторые частные решения. В той же работе ведется поиск метрик с голономией С?2 на конусе над Б13 х 53. Далее, в работе [11] те же авторы строят АЛК метрику с голономией Бріпії) на пространстве, вне начальной точки гомеоморфном

3.3 Анализ общей задачи существования решений на М
Напомним, что метрика (1) называется локально конической, если функции (Аі,В,С) линейны по 1 Если к тому же среди функций (Аі, В, С) нет постоянных, то метрика (1) называется конической. Если существует (локально) коническая метрика, определяемая функциями (Аі, В, С), такая что
Нт х М*) = 0, Ит ! т = о, Ііт , СЦ)
4—> оо Аі(і) 4-»оО В (і) 4—Юо С(і)
то метрика (1) называется асимптотически (локально) конической (сокращенно АК- или АЛК-метрика).
Основной целью данного параграфа является доказательство следующей теоремы.
Теорема 3.2. Пусть М — 7-мерное компактное 3-сасакиево многообразие, и положим р = 2 или р = 4 в зависимости от того, равен общий слой 3-сасакиева слоения М либо 30(3), либо 311(2). Тогда на орбифолде АІ2существуют следующие полные регулярные рима-новы метрики д вида (3.1) с группой голономии Н С Брт(7):
1) если Аі(0) = О, -Л2(0) = Лз(0) > 0 и 2А|(0) = 52(0) + С2(0), то метрика д из (3.1) имеет группу голономии 317(4) С Зріп(7) и гомотетична одной из метрик семейства (3.3);
2) если Аі(0) = 0, —А2(0) = А3(0) < 5(0) = (7(0), то существует регулярная АЛК-метрика д вида (3.1) с группой голономии Зріп(7). На бесконечности эти метрики стремятся к произведению конуса над твисторным простраитсвом Я и окруоісности 51.
Более того, любая полная регулярная метрика на пространстве М.2І^р вида (3.1) рассмотренной Зргп(7)-структурой и с группой голономии Н С Бргп(7) изометрична одной из указанных выше.
Оставшаяся часть Главы посвящена доказательству этой теоремы.