Теоремы типа Хелли для трансверсалей семейств множеств и их приложения

• Автор: Дольников, Владимир Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 205 с.

ВВЕДЕНИЕ
Одной из классических тем комбинаторной и выпуклой геометрии являются исследования по проблеме существования та-мерной плоскости, пересекающей все множества некоторого семейства выпуклых множеств в R". Эта плоскость называется т-трансверсалъю семейства. Знаменитая теорема Хелли (E. Helly) [1] дает критерий существования О-трансверсали, т.е. общей точки семейства выпуклых множеств. В общем виде задача о нахождении условий существования m-трансверсали впервые была сформулирована в работе P. Vincensini [2], где поставлена следующая задача
Vincensini’s Problem. Существует ли для 0 < m < п такое число г — r(n,m), что для любого (достаточно большого) семейства V выпуклых множеств в Кп, если любые г его членов имеют то-трансвер саль, то и все семейство V имеет т-трансверсаль.
В той же статье приведен ошибочный результат, что r(2,1) < 6. Л.А. Сантало (L.A. Santalo) [3] (см. также [4], с. 23) показал, что без дополнительных предположений г(п,то) = оо при п > 2. Позже Хадвигер и Дебруннер (H. Hadwiger, H. Debrunner) [4] показали, что r(n,m) = оо даже для семейств попарно непересекающихся выпуклых множеств в К". В дальнейшем этой тематике было посвящено много работ, относящихся, в основном, к случаям m = п — 1, m = 1, а также п = 2. Имеющиеся здесь результаты частично отражены в следующих книгах [4, 5, 6, 7, 8]. В литературе существует много примеров, показывающих, что условия, гарантирующие существование то-трансверсати, являются весьма ограничительными даже в случае п — 2 (см., например, [4, 5, 6, 7, 8]).
Центральный результат работы — это теорема 1.2.2 [9, 10, 11, 12]. Условия этой теоремы — комбинаторно-геометрические, однако ее утверждение имеет отношение и к топологии. В частности, ее следствиями являются с одной стороны теорема Хелли, а с другой стороны — теорема о покрытии сферы Борсука Люстерника - Шнирельмана, а значит,

и эквивалентная ей теорема об антиподах Борсука - Улама (К. Borsuk,
S. Ulam) [13, 14].
В дальнейшем, при ссылках на некоторые классические результаты, во введении будут цитироваться не оригинальные работы, а обзоры [5, 6]. Основная цель настоящей работы изучение различных трансверсалей
семейств множеств.
В главе I (§1 — §7) приводятся различные теоремы о трансверсалях и вводится обобщенная выпуклость.
В §1 доказывается важная топологическая лемма [10, 12], являющаяся основной в доказательстве теоремы 1.2.2 и приводятся ее непосредственные следствия.
Лемма 1.1.1. Если S,. ..,sm — сечения вещественного пли комплексного канонического расслоения над вещественным или комплекс-
ным многообразием Грассмана G7^, то существует такое (п-т,+ 1)-мерное подпространство L (вещественное пли комплексное), что si(L) = ■■■ = Sm (-L) •
Доказательство этой леммы основано на применении характеристических классов Штифеля - Уитни и Чжэня (лемма верна и для кватернион-ных грассмановых многообразий, о грассмановых многообразиях и характеристических классах см. в [15]). Позже эта лемма (в 1990 г.) независимо и другим способом была также доказана R.T. Zivaljevic и S.T. Vrecica в [16], которые использовывали работу E. Fadell и S. Husseini [17].
Приведем теперь пример непосредственного приложения леммы. Обозначим через Кп — множество всех непустых компактных выпуклых множеств в Еге с топологией, индуцированной метрикой Хаусдорфа. Векторнозначным функционалом, будем называть такое полунепрерывное снизу многозначное отображение р : Кп -4 Е" (С"), что p(V) £Е Кп и лежит в аффинной оболочке aff V множества V (см., например, [18, 19]). Например, таковы отображения, ставящие в соответствие выпуклому компакту множество центров его вписанных или описанных шаров в банаховой метрике, барицентр, точку Штейнера, центр минимального эллипсоида и т.д.
Следующая теорема [12] легко вытекает из предыдущей леммы и является усилением известной теоремы о центре тяжести сечения выпуклого тела (см., например, [20], с. 229).
Теорема 1.1.2. Если х — внутренняя точка выпуклого п-мерного компакта V С К” (Сп), то для любого набора вскторнозначных функци-

оналов (pi, ■ ■ ■ ,Рт) ■ Кп т т (соответственно Сп m) существует
такая (:п — тп)-мерная плоскость тг Э х, что pi (V П 7г) = ■ ■ • = pm (V П тг) = х.
Аналогичные результаты были получены для проекции на подпространство и для семейства выпуклых множеств [12].
В §2 формулируется и доказывается основная теорема 1.2.2 о транс-версалях [9, 10, 11, 12]. Заметим, что вопрос о связи между строением грассмановых многообразий 6 ы существованием общих трансверсалей был поставлен в книге [5], с. 61, и основной результат §2 это, по-видимому, первый результат на эту тему. Позже близкие теоремы о трансверсалях, используя топологические соображения получили .J.E.Goodman, R.Pollack, R.Wenger (см. [21, 22]).
Множество V С Ж” (С'г) назовем k-квазивыпуклым, если его образ при любом линейном (аффинном) отображении / : R” (Сп) —»• (Cfe) — выпукл или, что эквивалентно, если его ортогональная проекция L(V) на любое Р-мерное подпространство L (вещественное или комплексное) выпуклое множество.
Очевидно, что если множество n-квазивыпукло, то оно — выпукло. Также ясно, что если множество выпукло, то оно и fc-квазпьыиукло для всех к. Но обратное неверно. Например, если V — граница выпуклого множества в Ж", то ясно, что V - (п — 1)-квазивыпукло. Или, если, в качестве более общего примера, взять множество Nk(F), которое является объединением fc-мерных граней ограниченного выпуклого многогранника F (к-мерный остов F). Другой пример невыпуклого, но квазивыпуклого множества дает так называемое ’’ожерелье Антуана” (см. [23]). Это множество даже является вполне несвязным, но 1-квазивыпуклым. В литературе 1-квазивыпуклые множества также называются выпукло-связными (см. [5], с. 38).
Будем говорить, что семейство множеств Р имеет свойство Щ или, Р G Щ если любые < к множеств семейства Р имеют непустое пересечение и свойством П (Ре П), если пересечение всего семейства непусто.
Сформулируем основной результат параграфа. Пусть {-P;}i<,’ п — т + 2 для всех г, 1 < г < т.
Теорема 1.2.2. Если Pi € П„
-т+2 ДЛЯ Всех i, 1 < i < Ш, ТО ССМеИСТВО
Р =[Jb:i Pi имеет (ш — 1)-трансверсаль.
Ясно, что при m = 1 теорема 1.2.2 в точности совпадает с теоремой

Другой пример невыпуклого, но квазивыпуклого множества дает так называемое ” ожерелье Антуана” [23]. Это множество даже является вполне несвязным, но 1-квазивыпуклым. В литературе 1-квазивыпуклые множества также называются выпукло-связными (см. [5]).
Определение 2. Будем говорить, что семейство множеств Р имеет свойство Па, или, Р Е Щ если любые < к множеств семейства Р имеют непустое пересечение и свойством П (Р Е П), если пересечение всего семейства непусто.
Основной результат этого параграфа является приводимая ниже теорема. Для ее формулировки рассмотрим т таких семейств Д, |Д| > п — т + 2, 1 < i < то, то < п, что в любом семействе есть компакты и каждое состоит из (гг — т + 1)-квазивыпуклых замкнутых множеств, лежащих в М” или С”.
Теорема 1.2.2. Если Д Е П„_то_|_2 для всех г, 1 < г < ш, то семейство Р = и! Д имеет (тп — 1)-трансвер саль.
Доказательство. Доказательство приведем в вещественном случае; в комплексном, рассуждения повторяются дословно, с очевидными видоизменениями.
Возьмем подпространство Ь Е <л"_го+1 и для всех г, 1 < г < т, рассмотрим семейство проекций Ь(Р{), которое состоит из выпуклых множеств и имеет по теореме Хелли непустое пересечение и,;(А).
Ясно, что пДТ) непустой выпуклый компакт, непрерывно зависящий от Ь.
Пусть Хг{Ь) Е Ь — его центр тяжести. Тогда Х{(Ь) также непрерывно зависит от Ь. Тем самым получены то непрерывных сечений Х{, 1 < г < т, канонического расслоения 7^_т+1.
По лемме 1.1.1, существует такое подпространство Ь Е 6'"_т+], что
х(Ь) = ■ ■ ■ — хт(Ь) — х.
Возьмем (то — 1)-мерную ПЛОСКОСТЬ 7Г = х + тогда очевидно, ЧТО 7Г — (то — 1)-трансверсаль семейства Р — [Д. 1 Д.
Теорема доказана.
Замечание 2. Очевидно, что условие непустоты пересечения семейства для всех i в теореме 1.2.2 можно заменить на следующее условие: Т(Д) Е П„_т+2 для любого (п — т+ 1)-мерного подпространства Ь и всех г, 1 < г < т.